hypergeometrische verteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 So 23.09.2007 | | Autor: | M.M. |
| Aufgabe | | eine urne enthält 2 rote, 2 blaue, 2 weiße kugeln. es werden 3 kugeln ohne zurücklegen gezogen mit welcher wahrscheinlichkeit kommt jede farbe genau einmal vor? |
Hallo!
eigentlich habe ich die hypergeometrische veretilung verstanden. ich weiß aber nicht, wie man bei aufgaben vorgeht, die mehr als 2 "merkmale" haben. sonst war es immer defekt/ heil, rot/weiß, kennen/nicht kennen. und jetzt sind es auf einmal 3 farben. das kann man doch gar nicht in der einern formel unterbringen, oder?
muss man jetzt mehrere rechnungen machen oder kann man die wahrscheinlichleit doch nur mit einer rechnung ausrechnen? und wie sieht das dann aus?
vielen dank für eure hilfe schon im voraus!
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Hallo M.M.,
> eine urne enthält 2 rote, 2 blaue, 2 weiße kugeln. es
> werden 3 kugeln ohne zurücklegen gezogen mit welcher
> wahrscheinlichkeit kommt jede farbe genau einmal vor?
> Hallo!
> eigentlich habe ich die hypergeometrische veretilung
> verstanden. ich weiß aber nicht, wie man bei aufgaben
> vorgeht, die mehr als 2 "merkmale" haben.
Dann benutze doch einfach mal einen Baum!
Bei den wenigen Kugeln kann man den noch gut zeichnen, wenn du nur die für das Ereignis "jede Farbe genau einmal" betrachtest.
> sonst war es
> immer defekt/ heil, rot/weiß, kennen/nicht kennen. und
> jetzt sind es auf einmal 3 farben. das kann man doch gar
> nicht in der einern formel unterbringen, oder?
> muss man jetzt mehrere rechnungen machen oder kann man die
> wahrscheinlichleit doch nur mit einer rechnung ausrechnen?
> und wie sieht das dann aus?
> vielen dank für eure hilfe schon im voraus!
>
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 So 23.09.2007 | | Autor: | M.M. |
danke für den tipp mit dem baum, ich hab es gemacht und als wahrscheinlichkeit 1/5 erhalten. stimmt diese?
aber man muss solche arten von aufgaben doch auch mit der formel der hypergeom. verteilung berrechnen können. schließlich kann man nicht immer so leicht bäume zeichen
kann mir jemand sagen, wie das funktioniert?
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> danke für den tipp mit dem baum, ich hab es gemacht und als
> wahrscheinlichkeit 1/5 erhalten. stimmt diese?
Ich fürchte nicht: es gibt insgesamt $3!$ Pfade (entspricht $3!$ verschiedenen Zugsequenzen der drei Farben), die zu einem Blatt führen, das zum fraglichen Ereignis 'drei verschiedenfarbige' gehört. Jedes dieser Blätter hat nach meinem Gefühl die Wahrscheinlichkeit [mm] $\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{1}{15}$.
[/mm]
Nun ist aber leider [mm] $3!\cdot \frac{1}{15}=\frac{2}{5}$, [/mm] nicht [mm] $\frac{1}{5}$.
[/mm]
> aber man muss solche arten von aufgaben doch auch mit der
> formel der hypergeom. verteilung berrechnen können.
> schließlich kann man nicht immer so leicht bäume
> zeichen
> kann mir jemand sagen, wie das funktioniert?
Jede Ziehung von 3 Kugeln (ohne Zurücklegen) ist gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment). Also können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit, drei verschiedenfarbige Kugeln zu ziehen, als Verhältnis von günstigen zu möglichen Fällen berechnen:
[mm]\mathrm{P}(\text{drei verschiedenfarbige})=\frac{\binom{2}{1}\cdot \binom{2}{1}\cdot\binom{2}{1}}{\binom{6}{3}}=\frac{2}{5}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 23.09.2007 | | Autor: | M.M. |
kann man es nicht mit der formel P (x=k)= "M über k"* "N-M über n-k" geteilt durch "N über n" berechnen? Das müsste doch eigentlich auch gehen. Ich weiß nur wirklich keinen Ansatz, helft mir bitte! :)
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> kann man es nicht mit der formel P (x=k)= "M über k"* "N-M
> über n-k" geteilt durch "N über n" berechnen? Das müsste
> doch eigentlich auch gehen. Ich weiß nur wirklich keinen
> Ansatz, helft mir bitte! :)
Du kannst doch das fragliche Ereignis ('drei gleichfarbige') nicht einfach auf die Form $x=k$ bringen.
Aber nimm einmal an, Du hättest [mm] $n_b$ [/mm] blaue, [mm] $n_r$ [/mm] rote und [mm] $n_w$ [/mm] weisse Kugeln [mm] ($n_{b,r,w}\geq [/mm] 1$) und Du möchtest die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass bei Ziehung von [mm] $k=k_b+k_r+k_w$ [/mm] Kugeln genau [mm] $k_b$ [/mm] blaue, [mm] $k_r$ [/mm] rote und [mm] $k_w$ [/mm] weisse Kugeln gezogen werden, dann ist dies
[mm]\mathrm{P}(\text{genau $k_b$ blaue, $k_r$ rote und $k_w$ weisse})=\frac{\binom{n_b}{k_b}\cdot\binom{n_r}{k_r}\cdot\binom{n_w}{k_w}}{\binom{n_b+n_r+n_w}{k_b+k_r+k_w}}[/mm]
Genau so habe ich es für den Spezialfall Deiner konkreten Aufgabe auch gerechnet: auch dies ist wieder "günstige durch mögliche Fälle". [mm] $k_b$ [/mm] blaue Kugeln kannst Du ja bekanntlich aus [mm] $n_b$ [/mm] auf [mm] $\binom{n_b}{k_b}$ [/mm] Arten auswählen. Unabhängig von dieser Wahl der [mm] $k_b$ [/mm] blauen Kugeln kannst Du die [mm] $k_r$ [/mm] roten aus [mm] $n_r$ [/mm] auf [mm] $\binom{n_r}{k_r}$ [/mm] Arten auswählen. Analog für die Wahl der [mm] $k_w$ [/mm] weissen aus [mm] $n_w$. [/mm] Nach dem Produktsatz der Kombinatorik multiplizieren sich diese Möglichkeiten. Daraus ergibt sich die Zahl der günstigen Fälle.
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