i.id. ZV / EX=EY V(X)=V(Y) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Do 17.06.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
seien X,Y i.i.d (unabhängig identisch verteilte ) ZV .
Gilt EX=EY , Var(X)=Var(Y) , und warum?
Gruß
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Do 17.06.2010 | | Autor: | dazivo |
Hallo!
Wenn du überlegst was eigentlich "i.i.d" bedeutet (independent and identically distributed = unabhängig und identisch verteilt ) so stellst du
fest, dass Verteilung von X = Verteilung von Y. Konkret bedeuted das
$P[X [mm] \in [/mm] A] = P[Y [mm] \in [/mm] A] [mm] \qquad \forall [/mm] A [mm] \in \mathbb{B}(\IR)$. [/mm]
Nachdem du gezeigt hast, dass die Menge [mm] $\{ X > t\}$ [/mm] Produktmessbar ist
also Element von [mm] $\mathbb{B}([0, \infty)) \otimes \mathcal{F}$ [/mm] für $t [mm] \geq [/mm] 0$ folgt (wenn [mm] $(\Omega, \mathcal{F}, [/mm] P)$ dein Wahrscheinlichkeitsraum ist) mit Fubini, dass
[mm] $\integral_{\Omega} [/mm] X dP = [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] P[X > t] dt$.
Damit haben wir insgesamt
$E[X] [mm] \overbrace{=}^{Definition} \integral_{\Omega} [/mm] X dP = [mm] \integral_{0}^{\infty} [/mm] P[X > t] dt [mm] \overbrace{=}^{gleiche Verteilung} \integral_{0}^{\infty} [/mm] P[Y > t] dt = [mm] \integral_{\Omega} [/mm] Y dP = E[Y]$.
Dass die Varianzen übereinstimmen, folgt aus der Tatsache, dass
$Var[X] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] E[X]^2$
[/mm]
und dass Verteilung von [mm] X^2 [/mm] = Verteilung vo [mm] Y^2.
[/mm]
Ich hoffe, ich konnte dir damit helfen.
Gruss dazivo
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