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| Aufgabe | Sei [mm] id_A:A \rightarrow [/mm] B die identische Abbildung von A nach A mit [mm] id_A(a)=a, \forall a\in [/mm] A. Zeigen Sie die folgenden Aussagen.
a) Eine Abbildung f:A [mm] \rightarrow [/mm] B ist genau dann injektiv, wenn es eine Abbildung g:B [mm] \rightarrow [/mm] A gibt mit [mm] g\circ f=id_A.
[/mm]
b) Eine Abbildung f:A [mm] \rightarrow [/mm] B ist genau dann surjektiv, wenn es eine Abbildung g:B [mm] \rightarrow [/mm] A gibt mit [mm] f\circ g=id_B.
[/mm]
c) Eine Abbildung f:A [mm] \rightarrow [/mm] B ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g:B [mm] \rightarrow [/mm] A gibt mit [mm] g\circ f=id_A [/mm] und [mm] f\circ g=id_B [/mm] .
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Hi,
die erste hab ich glaub ich gezeigt.
a) Injektivität ist gegeben falls: f(a)=f(a') [mm] \Rightarrow [/mm] a=a'
aus [mm] g\circ f=id_A [/mm] folgt g(f(a))=a
Zusammen folgt: a=g(f(a))=g(f(a'))=a' q.e.d.
b) So bei der b) hab ich Probleme, da ich mit den Surjektivitätsdefinitionen nicht gut arbeiten kann. Ich hab mir folgende drei Definitionen zusammengesucht.
[mm] \left| f^{-1}(b) \right| \ge [/mm] 1 . Mit der Definition kann ich nicht viel anfangen.
B=f(A). Die Definition versteh ich, aber ich kann nicht gut mit arbeiten.
[mm] \forall b\in B \exists a\in A:f(a)=b [/mm]. Die Definition ist ja fast dieselbe.
So, aus der identischen Abbildung folgt jetzt, dass f(g(b))=b. Wenn ich mir jetzt die grafische Darstellung aufmale (mach ich immer bei der Art von Aufgabe) und mir die letzte Definition anschaue, verstehe ich schon, dass die Folgerung gilt. Aber ich kann es nicht aufschreiben.
c) zu der c) brauch ich (noch) keine Hilfe, dich schau ich mir danach an.
Gruß almigtybald
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> Sei [mm]id_A:A \rightarrow[/mm] B die identische Abbildung von A
> nach A mit [mm]id_A(a)=a, \forall a\in[/mm] A. Zeigen Sie die
> folgenden Aussagen.
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> a) Eine Abbildung f:A [mm]\rightarrow[/mm] B ist genau dann
> injektiv, wenn es eine Abbildung g:B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt mit
> [mm]g\circ f=id_A.[/mm]
>
> b) Eine Abbildung f:A [mm]\rightarrow[/mm] B ist genau dann
> surjektiv, wenn es eine Abbildung g:B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt
> mit [mm]f\circ g=id_B.[/mm]
>
> c) Eine Abbildung f:A [mm]\rightarrow[/mm] B ist genau dann
> bijektiv, wenn es eine Abbildung g:B [mm]\rightarrow[/mm] A gibt mit
> [mm]g\circ f=id_A[/mm] und [mm]f\circ g=id_B[/mm] .
>
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> Hi,
>
> die erste hab ich glaub ich gezeigt.
>
> a) Injektivität ist gegeben falls: f(a)=f(a') [mm]\Rightarrow[/mm]
> a=a'
>
Sei f(a)=f(a').
> aus [mm]g\circ f=id_A[/mm] folgt g(f(a))=a
>
> Zusammen folgt: a=g(f(a))=g(f(a'))=a' q.e.d.
Hallo,
Du hast jetzt gezeigt
es gibt eine Abbildung g:B [mm]\rightarrow[/mm] A mit [mm]g\circ f=id_A.[/mm] ==> f injektiv.
Nun mußt Du noch die andere Richtung vorrechnen.
Hierzu mußt Du Dir eine Funktion g definieren, die das Geforderte tut.
> b) So bei der b) hab ich Probleme, da ich mit den
> Surjektivitätsdefinitionen nicht gut arbeiten kann. Ich
> hab mir folgende drei Definitionen zusammengesucht.
>
> [mm]\left| f^{-1}(b) \right| \ge[/mm] 1 . Mit der Definition kann
> ich nicht viel anfangen.
Es müßte heißen [mm] |f^{-1}(\{b\}|\ge [/mm] 1 für alle [mm] b\in [/mm] B.
Hier geht's um das Urbild.
Übersetzt: auf jedes Element des Wertebereiches wird mindestens ein Element aus der Definitionsmenge abgebildet.
>
> B=f(A). Die Definition versteh ich, aber ich kann nicht gut
> mit arbeiten.
>
> [mm]\forall b\in B \exists a\in A:f(a)=b [/mm]. Die Definition ist
> ja fast dieselbe.
Alle Definitionen sind (selbstverständlich ) äquivalent.
Zum Arbeiten ist meist die letzte am brauchbarsten.
> So, aus der identischen Abbildung folgt jetzt, dass
> f(g(b))=b. Wenn ich mir jetzt die grafische Darstellung
> aufmale (mach ich immer bei der Art von Aufgabe) und mir
> die letzte Definition anschaue, verstehe ich schon, dass
> die Folgerung gilt. Aber ich kann es nicht aufschreiben.
Du redest gerade über die Rückrichtung, welche ich Dir gleich zeigen werde. Beachte, daß die andere Richtung auch noch gezeigt werden muß.
Sei also [mm] f\circ [/mm] g [mm] =id_B.
[/mm]
Zu zeigen: f surjektiv.
Sei b [mm] \in [/mm] B.
Es ist [mm] b=(f\circ [/mm] g)(b)= f(g(b)).
Mit [mm] a:=g(b)\in [/mm] A hat man also ein Element gefunden, welches von f auf b abgebildet wird.
Gruß v. Angela
>
> c) zu der c) brauch ich (noch) keine Hilfe, dich schau ich
> mir danach an.
>
> Gruß almigtybald
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Achja beide Richtungen. Also zu der 1.a) hab ich mir mit Hilfe deines Tipps folgendes überlegt:
z.z.: f [mm] injektiv\Rightarrow g\circ f=id_A
[/mm]
Ich konstruiere mir eine Abbildung g, die schon eine identische Abbildung darstellt und zeige, dass sie eindeutig ist.
Sei g(f(a))=a .
Die Abbildung ist eindeutig. Denn falls es noch eine weitere Abbildung gibt für die gilt:
g(f(a'))=a' mit f(a')=f(a)
dann gilt nach der Injektivität f(a)=(f(a') [mm] \Rightarrow [/mm] a=a'
Es gilt also [mm] g\circ f=id_A
[/mm]
Anmerkung: Ich bin mir nicht sicher, ob ich damit was gezeigt hab.
bei der 1b) hab ich es analog probiert, aber komm nicht weit.
z.z.: f [mm] surjektiv\Rightarrow f\circ g=id_B
[/mm]
Sei f(g(b))=b Weiterhin gilt hier immer b=f(a)
Der Schritt b=f(a) gilt nach der Definition [mm] \forall b\in B \exists a\in A:f(a)=b [/mm]
Anmerkung: Das ist nur eine Idee für einen Ansatz.
Gruß und Dank almightybald
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> Achja beide Richtungen. Also zu der 1.a) hab ich mir mit
> Hilfe deines Tipps folgendes überlegt:
>
> z.z.: f [mm]injektiv\Rightarrow g\circ f=id_A[/mm]
>
> Ich konstruiere mir eine Abbildung g, die schon eine
> identische Abbildung darstellt und zeige, dass sie
> eindeutig ist.
>
> Sei g(f(a))=a .
>
> Die Abbildung ist eindeutig. Denn falls es noch eine
> weitere Abbildung gibt für die gilt:
>
> g(f(a'))=a' mit f(a')=f(a)
>
> dann gilt nach der Injektivität f(a)=(f(a') [mm]\Rightarrow[/mm]
> a=a'
>
> Es gilt also [mm]g\circ f=id_A[/mm]
>
> Anmerkung: Ich bin mir nicht sicher, ob ich damit was
> gezeigt hab.
Hallo,
es ist noch nicht perfekt, aber die wesentliche Idee hast Du verstanden.
Ich mach's jetzt vor:
Sei [mm] A\not=\emptyset,
[/mm]
[mm] a_1\in [/mm] A, und
sei f: [mm] A\to [/mm] B injektiv,
Definiere
g:B [mm] \to [/mm] A
durch
g(b):=a mit f(a)=b für [mm] b\in [/mm] f(B)
g(b):= [mm] a_1 [/mm] für [mm] b\not\in [/mm] f(B)
Zu zeigen ist nun die Wohldefiniertheit der Abbildung,
hier: ist die Zuordnung eindeutig?
Da die Abbildung f injektiv ist, ist das der Fall.
Anschließend rechnet man vor, daß die Abbildung das Geforderte tut.
Sei [mm] a\in [/mm] A.
[mm] (g\circ [/mm] f)(a)=g(f(a))=a nach Def. von g,
also ist [mm] g\circ f=id_A.
[/mm]
>
> bei der 1b) hab ich es analog probiert, aber komm nicht
> weit.
>
> z.z.: f [mm]surjektiv\Rightarrow f\circ g=id_B[/mm]
>
> Sei f(g(b))=b Weiterhin gilt hier immer b=f(a)
>
> Der Schritt b=f(a) gilt nach der Definition [mm]\forall b\in B \exists a\in A:f(a)=b[/mm]
>
> Anmerkung: Das ist nur eine Idee für einen Ansatz.
Auch hier hast Du die richtige Idee.
Def. eine Abbildung
[mm] g:B\to [/mm] A
g(b):= a mit [mm] a\in f^{-1}(\{b\})
[/mm]
Zu zeigen ist wieder die Wohldefiniertheit, hier:
wird jedem [mm] b\in [/mm] B durch die Def. ein Funktionswert zugewiesen?
Da aufgrund der Surjektivität [mm] f^{-1}(\{b\}) [/mm] mindestens ein Element enthält,, ist das der Fall. (Aus all diesen Elementen, die auf b abgebildet werden wählt man eins aus.)
Und nun rechnet man wieder vor, daß die Verkettung die Identität ist.
Gruß v. Angela
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