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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:30 Mi 30.05.2007 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass für alle n N gilt:
[mm] n^n [/mm] <= n! * [mm] e^n-1 [/mm] <= n^(n+1) |
hi zusammen,
darf man die eulersche zahl e einfach durch (1+ [mm] 1/n)^n [/mm] ersetzen ?
wenn ich das nämlich mache dann bekomme ich folgendes:
1. umformen der ungleichung:
[mm] n^n [/mm] / n! <= [mm] e^n-1 [/mm] ... das n^(n+1) habe ich mal weggelassen.
beweis über vollständige induktion:
induktionsschritt:
[mm] e^n [/mm] = 1/e * [mm] e^n-1 [/mm]
>= 1/e * [mm] (n^n [/mm] / n!)
= (1/(1 +1 / [mm] n)^n) [/mm] * [mm] n^n [/mm] / n!
= ((( n + 1 ) ^n) / [mm] n^n) [/mm] * [mm] (n^n [/mm] / n!)
= [mm] ((n+1)^n) [/mm] / n!
= ((n+1)^(n+1) / (n+1)!
isses damit nun bewiesen ? der letzte schritt kommt mir etwas suspekt vor und ob man e einfach ersetzen kann auch :) ich hoffe ihr könnt mir da mal auf die sprünge helfen
mfg
meep
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie, dass für alle n N gilt:
>
> [mm]n^n[/mm] [mm] \le [/mm] n! * [mm]e^{n-1}[/mm] [mm] \le n^{n+1}
[/mm]
>
> darf man die eulersche zahl e einfach durch (1+ [mm]1/n)^n[/mm]
> ersetzen ?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
nein, "einfach ersetzen" darfst Du e nicht durch diesen Ausdruck.
Wenn Ihr aber bereits gelernt habt, daß (1+ [mm]1/n)^n[/mm] monoton wachsend gegen e konvergiert, dann kannst Du natürlich damit e abschätzen: [mm] e\ge [/mm] (1+ [mm]1/n)^n[/mm] für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Zur Induktion: ich gehe davon aus, daß Du weißt, wie Induktion geht, und daß Du auch einen Induktionsanfang gemacht hast.
Für die Verständlichkeit wäre es nicht nur für die abgabebereite Hausübung sondern auch hier schön, wenn Du etwas verbindenden Text spendieren würdest. Es beschleunigt das Verständnis.
>
> wenn ich das nämlich mache dann bekomme ich folgendes:
>
> 1. umformen der ungleichung:
ergibt
[mm] \bruch{n^n}{n!} \le[/mm] [mm]e^{n-1}[/mm] [mm] \le \bruch{n^{n+1}}{n!}.
[/mm]
Gezeigt werden soll nun die linke Seite der Gleichung.
Behauptung:
es ist
>
> [mm] \bruch{n^n}{n!} \le[/mm] [mm]e^{n-1}[/mm]
für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> beweis über vollständige induktion:
Induktionsanfang:...
>
> induktionsschritt:
Es gelte [mm] \bruch{n^n}{n!} \le[/mm] [mm]e^{n-1}[/mm]
für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Zu zeigen: dann ist [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \le[/mm] [mm]e^{n}[/mm]
für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Sei [mm] n\in \IN
[/mm]
Es ist
>
> [mm]e^n[/mm] = [mm] \bruch{1}{e} [/mm] * [mm]e^{n-1}[/mm]
>
> [mm] \ge \bruch{1}{e} [/mm] * [mm] \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
(nach Induktionsvoraussetzung)
>
> = [mm] \bruch{1}{(1 +1 / n)^n}* \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
Das Gleichheitszeichen stimmt hier natürlich nicht, aber Du kannst es aus den oben erwähnten Gründen abschätzen, also
[mm] \ge \bruch{1}{(1 +1 / n)^n}* \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
>
> = [mm] \bruch{( n + 1 )^n}{n^n}* \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
>
> = [mm] \bruch{(n+1)^n}{n!}
[/mm]
>
> = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{ (n+1)!}
[/mm]
>
> isses damit nun bewiesen ? der letzte schritt kommt mir
> etwas suspekt vor
Er ist suspekt, weil Du keine Begründung dafür lieferst.
Aber man kann eine gute Begründung finden, wenn man noch eine Zeile dazwischenschiebt:
> = [mm] \bruch{(n+1)^n}{n!}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^n(n+1)}{n!(n+1)}
[/mm]
> = [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{ (n+1)!}
[/mm]
Damit hat man's dann.
Gruß v. Angela
P.S.: Man mußte Dein Post erst bearbeiten, um es richtig lesen und verstehen zu können.
Das macht nichts, bei Erstusern ist das kein Problem.
Wenn Du uns aber öfter besuchst, mach Dich bitte mit dem Formeleditor vertraut.
Exponenten erscheinen als Exponenten, wenn man sie in geschweifte Klammern setzt, und es besteht auch die Möglichkeit, Brüche darzustellen.
Durch einen Klick auf "Vorschau" links unterm Eingabefenster kannst Du vor dem Abschicken sehen, ob alles so erscheint, wie von Dir geplant.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Mi 30.05.2007 | | Autor: | meep |
Vielen Dank für die Antwort,
ja das mit dem induktionsanfang etc hatten wir alles aber ich muss ehrlich sagen ich war etwas faul das noch runterzuschreiben :) war bis spät in die nacht mit der aufgabe beschäftigt .. und ja da ich hier öfters posten werde mache ich mich ma schlau mit dem formeleditor
mfg
meep
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