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| Aufgabe | | Man zeige mittels vollständiger induktion, dass die zahlen 2^(4*n)für positive n element der natürlichen zahlen die endziffer 6 haben. |
hallo,
ich verstehe das ganze thema der induktion noch nicht wirklich, eher sehr gering. schaue mir beispiele im internet an und auch welche aus der uni. glaube auch z.B. wenn es um gleichungen oder ungleichungen geht langsam einen silberstreif am horizont zu sehen. aber bei der aufgabe oben, machts mich stutzig das ich nichtmal weiß wie ich eine vernünftige gleichung aufstellen soll.
ich habe wie immer folgendes gemacht:
1. schritt: 2^(4*n) für n=1 bestimmt. 2^(4*1)=16 aussage stimmt also für n=1
2. schritt: annahme gelte für alle n, element der natürlichen zahlen, bis zu einer natürlichen zahl N größer/gleich 1. d.h. n element der natürlichen zahlen{1,2,3,4,....,N}.. (hier habe ich n durch N ersetzt. hab ich so in der uni mitgeschrieben. sehe oft das mans nicht macht, denke ist aber auch eher nebensächlich.)
3. schritt: zeigen das die annahme auch für (N+1) gilt.
und hier komm ich nicht weiter. ich schreibe hin 2^(4*(N+1)... und dann? es ist ja ne gleichung. nur wie soll ich alle zahlen mit endziffer 6 darstellen? m*10 +6?...m element der natürlichen zahlen. so käme ich zumindest auf jede zahl mit der endziffer 6...
für jede hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo freak-club und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man zeige mittels vollständiger induktion, dass die zahlen
> 2^(4*n)für positive n element der natürlichen zahlen die
> endziffer 6 haben.
> hallo,
> ich verstehe das ganze thema der induktion noch nicht
> wirklich, eher sehr gering. schaue mir beispiele im
> internet an und auch welche aus der uni. glaube auch z.B.
> wenn es um gleichungen oder ungleichungen geht langsam
> einen silberstreif am horizont zu sehen. aber bei der
> aufgabe oben, machts mich stutzig das ich nichtmal weiß
> wie ich eine vernünftige gleichung aufstellen soll.
>
> ich habe wie immer folgendes gemacht:
>
> 1. schritt: 2^(4*n) für n=1 bestimmt. 2^(4*1)=16 aussage
> stimmt also für n=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> 2. schritt: annahme gelte für alle n, element der
> natürlichen zahlen, bis zu einer natürlichen zahl N
> größer/gleich 1. d.h. n element der natürlichen
> zahlen{1,2,3,4,....,N}.. (hier habe ich n durch N ersetzt.
> hab ich so in der uni mitgeschrieben. sehe oft das mans
> nicht macht, denke ist aber auch eher nebensächlich.)
Das ist die erweiterte Inkuktionsvoraussetzung.
Im Vergleich dazu gibt's die "normale" IV, bei der du dir ein bel., aber festes [mm]n\in\IN[/mm] vorgibst und sagst, dass die Beh. für dieses n gilt.
Die erweiterte sagt nur, dass sie auch für alle kleineren Zahlen gilt ([mm]k\le n[/mm])
Die "einfache" reicht hier aber völlig aus!
>
> 3. schritt: zeigen das die annahme Beh.auch für (N+1) gilt.
> und hier komm ich nicht weiter. ich schreibe hin
> 2^(4*(N+1)... und dann? es ist ja ne gleichung. nur wie
> soll ich alle zahlen mit endziffer 6 darstellen? m*10
> +6?...m element der natürlichen zahlen. so käme ich
> zumindest auf jede zahl mit der endziffer 6...
Ja, das ist schon die richtige Idee.
Du hast in der IV ein n fixiert, so dass [mm]2^{4n}[/mm] Endziffer 6 hat.
Jede ((M+1)-stellige) nat. Zahl [mm]x[/mm] kannst du darstellen als [mm]\sum\limits_{k=0}^{M}x_k\cdot{}10^k=x_M\cdot{}10^M+x_{M-1}\cdot{}10^{M-1}+\ldots +x_1\cdot{}10^1+x_0\cdot{}10^0[/mm]
Die [mm]x_k[/mm] sind die Ziffern, also [mm]x_k\in\{0,1,2,...,9\}[/mm]
Nun ist die letzte Ziffer von [mm] $2^{4n}$ [/mm] nach IV eine 6, du hast also für diese Zahl die Einerziffer [mm]x_0=6[/mm]
Also lautet die Zahl [mm]\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6\cdot{}10^0=\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6[/mm]
Nun betrachte [mm]2^{4(n+1)}=2^{4n+4}=2^4\cdot{}2^{4n}[/mm]
Du multiplizierst also [mm]2^{4n}[/mm], was nach IV eine Zahl ist, die auf 6 endet mit [mm]2^4=16[/mm].
Was kommt für die Einerziffer dieses Produktes heraus?
Das ist jetzt ein bisschen schwadroniert, um es klar zu machen, versuche, etwas zu formalisieren!
> für jede hilfe dankbar.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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dachte mir schon das man irgendwie mit ner reihe oder auf die zahl kommt... Also lautet die Zahl $ [mm] \left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6\cdot{}10^0=\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6 [/mm] $ aber das versteh ich noch nicht ganz. sorry
und die frage versteh ich auch nicht.
Was kommt für die Einerziffer dieses Produktes heraus?
ich multipliziere ja wie du/sie sagtest/sagten 2^4n mit [mm] 2^4. [/mm] nach meinem 1.schritt ist 2^4n=16 , da n=1 war. also würde ich 16 mit multiplizieren. komme ich auf 256. aber formal weiß ich nicht wie ich dahin kommen soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mi 27.10.2010 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo freakclub,
> dachte mir schon das man irgendwie mit ner reihe oder auf
> die zahl kommt... Also lautet die Zahl
> [mm]\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6\cdot{}10^0=\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6[/mm]
> aber das versteh ich noch nicht ganz. sorry
Diese Summen, die schachuzipus dir genannt hat, teilt eine Zahl (z.B. 123456) auf ihre Einer-, Zehner- etc. Stellen auf.
Um bei meinem Beispiel zu bleiben:
123456 kann man darstellen als 100000 + 20000 + 3000 + 400 + 50 + 6 (nichts anderes soll die Summendarstellung oben verdeutlichen).
> und die frage versteh ich auch nicht.
> Was kommt für die Einerziffer dieses Produktes heraus?
>
> ich multipliziere ja wie du/sie sagtest/sagten 2^4n mit
> [mm]2^4.[/mm] nach meinem 1.schritt ist 2^4n=16 , da n=1 war. also
> würde ich 16 mit multiplizieren. komme ich auf 256. aber
> formal weiß ich nicht wie ich dahin kommen soll.
Nun, du weißt ja, dass [mm] 2^{4n} [/mm] immer eine 6 am Ende hat, das hast du schon bewiesen. Und nun hast du [mm] 2^4 [/mm] = 16. Also wieder eine Zahl mit einem 6 am Ende.
Du musst also noch formal beweisen, dass zwei Zahlen, die auf einer 6 enden, wieder eine 6 am Ende haben.
Dabei könnte dir, um das formal zu zeigen, obige Summendarstellung einer beliebigen Zahl durchaus helfen.
Schauen wir uns mal das Produkt 126 * 3526 an. Das kannst du schreiben als
[mm](1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 6 * 10^0) * (3 * 10^3 + 5 * 10^2 + 2 * 10^1 + 6 * 10^0)[/mm] = ...
Rechne dir das mal durch und überleg dir mal, worauf es jetzt für die letzte Stelle ankommt. Dann versuche das zu verallgemeinern. 
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> Hallo freakclub,
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> > dachte mir schon das man irgendwie mit ner reihe oder auf
> > die zahl kommt... Also lautet die Zahl
> >
> [mm]\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6\cdot{}10^0=\left(\sum\limits_{k=\red{1}}x_k10^k\right)+6[/mm]
> > aber das versteh ich noch nicht ganz. sorry
>
>
> Diese Summen, die schachuzipus dir genannt hat, teilt eine
> Zahl (z.B. 123456) auf ihre Einer-, Zehner- etc. Stellen
> auf.
>
> Um bei meinem Beispiel zu bleiben:
> 123456 kann man darstellen als 100000 + 20000 + 3000 + 400
> + 50 + 6 (nichts anderes soll die Summendarstellung oben
> verdeutlichen).
>
> > und die frage versteh ich auch nicht.
> > Was kommt für die Einerziffer dieses Produktes heraus?
> >
> > ich multipliziere ja wie du/sie sagtest/sagten 2^4n mit
> > [mm]2^4.[/mm] nach meinem 1.schritt ist 2^4n=16 , da n=1 war. also
> > würde ich 16 mit multiplizieren. komme ich auf 256. aber
> > formal weiß ich nicht wie ich dahin kommen soll.
>
> Nun, du weißt ja, dass [mm]2^{4n}[/mm] immer eine 6 am Ende hat,
> das hast du schon bewiesen.
Und nun hast du [mm]2^4[/mm] = 16. Also
> wieder eine Zahl mit einem 6 am Ende.
>
> Du musst also noch formal beweisen, dass zwei Zahlen, die
> auf einer 6 enden, wieder eine 6 am Ende haben.
>
> Dabei könnte dir, um das formal zu zeigen, obige
> Summendarstellung einer beliebigen Zahl durchaus helfen.
>
> Schauen wir uns mal das Produkt 126 * 3526 an. Das kannst
> du schreiben als
> [mm](1 * 10^2 + 2 * 10^1 + 6 * 10^0) * (3 * 10^3 + 5 * 10^2 + 2 * 10^1 + 6 * 10^0)[/mm]
> = ...
>
> Rechne dir das mal durch und überleg dir mal, worauf es
> jetzt für die letzte Stelle ankommt. Dann versuche das zu
> verallgemeinern.
okay, hab ich verstanden. hatte ich vergessen sorry. ist ja wie beim umrechnen eines anderen zahlensystems in dezimalzahl.
Nun, du weißt ja, dass [mm]2^{4n}[/mm] immer eine 6 am Ende hat,
> das hast du schon bewiesen. habe ich das? meiner meinung nach nicht, sonst wäre meine aufgabe ja fertig. ich habe doch lediglich bewiesen das 2^4n mit n=1 auf 6 endet, mehr jedoch nicht. oder seh ich das falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast das Prinzip der vollst Ind. noch nicht verstanden.
man zeigt durch ausrechnen, dass die Behauptung ür ein [mm] n_0, [/mm] meistens für 1 stimmt.
also [mm] 2^4=16
[/mm]
jetzt sagt man, ich nehme an es stimmt für irgend ein n, dannstimmt es auch für das nächste.
das nennt man die Induktionsvorraussetzung
hier also [mm] 2^{4n}=a*10+6 [/mm] (a enthält alle ziffern vor der letzten)
jetzt kommt die Induktionsbehauptung:
es stimmt auch für n+1 also es gilt auch [mm] 2^{4(n+1)} [/mm] endet auch mit 6
also schreibst du
[mm] 2^{4(n+1)} =2^{4n}*2^4
[/mm]
jetzt setzt man die Indvors. ein
[mm] 2^{4n}*2^4=(a*10+6)*16=(a*10+6)*10+(a*10+6)*6=
[/mm]
.....=c*10+6
fertig.
die Idee ist, du hast es für n=1 gezeigt, wenn es für 1 gilt, dann mit deinem Weg auch für 2, wenn es für 2 gilt also auch für 3 usw, du hast es also für alle natürlichen Zahlen bewiesen.
Klarer ?
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 27.10.2010 | | Autor: | wonda |
zuerst hast du richtig den Induktionsanfang gemacht
dann folgt der Induktionsschluss
also aus n->n+1
[mm] 2^{4*(N+1)}
[/mm]
nun formst du den term so um das du die Indunktionsvoraussetzung erhälsta, also [mm] 2^{4*n} [/mm]
+ einen anderen Term
bei der Indunktionsvoraussetzung weißt du das die letzte Zahl eine 6 ist
dann guckst du dir den einen anderen Term
da sollte dir auffallen das die Zahl am ende immer noch 6 bleibt
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> zuerst hast du richtig den Induktionsanfang gemacht
> dann folgt der Induktionsschluss
> also aus n->n+1
>
> [mm]2^{4*(N+1)}[/mm]
> nun formst du den term so um das du die
> Indunktionsvoraussetzung erhälsta, also [mm]2^{4*n}[/mm]
> + einen anderen Term
> bei der Indunktionsvoraussetzung weißt du das die letzte
> Zahl eine 6 ist
> dann guckst du dir den einen anderen Term
> da sollte dir auffallen das die Zahl am ende immer noch 6
> bleibt
>
ich hab [mm] 2^4*(N+1) [/mm] nun so umgeformt das ich da stehen habe.:
2^4n + 2^(N+1) meinst du/ meinen sie das mit dem zweiten term? also die 2^(N+1)? und den letzten satz versteh ich leider nicht. das mir auffallen soll das die zahl am ende immer noch 6 bleibt. sorry
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
> ich hab [mm]2^4*(N+1)[/mm] nun so umgeformt das ich da stehen
> habe.:
> 2^4n + 2^(N+1) meinst du/ meinen sie das mit dem zweiten
> term? also die 2^(N+1)? und den letzten satz versteh ich
> leider nicht. das mir auffallen soll das die zahl am ende
> immer noch 6 bleibt. sorry
richtig steht da doch [mm] 2^{4(n+1)} [/mm] und das ist nicht [mm] 2^{4n} [/mm] + [mm] 2^{N+1}
[/mm]
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Gruss leduart
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