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| Aufgabe | Beweisen Sie fuer reelle Zahlen a1, ..., an die Aussagen
[mm] a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] + ... + [mm] an^2 \ge [/mm] 0 und
[mm] a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] + ... + [mm] an^2 [/mm] = 0 <=> ak = 0 fuer k = 1, ..., n. |
Hey,
ich versuch hier grad die oben gestellte Aufgabe zu loesen. Geht um induktive Beweisfuehrung. Zwei der Beweise hab ich gemacht. Sagt mir mal bitte ob die als Beweise gueltig sind:
1 [mm] (a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] + ... + [mm] an^2 \ge [/mm] 0):
Basisfall: n = 2, dann gilt:
[mm] a1^2 \ge [/mm] 0 und [mm] a2^2 \ge [/mm] 0 (denn das Quadrat einer Zahl ist stets [mm] \ge [/mm] 0)
Dann gilt durch Vertraeglichkeit mit der Addition:
[mm] a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 \ge [/mm] 0. Damit waere die Aussage also fuer n = 2 bewiesen.
Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 \ge [/mm] 0 und a(n + [mm] 1)^2 \ge [/mm] 0
Jetzt gilt wieder Vertraeglichkeit mit Addition:
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] + a(n + [mm] 1)^2 \ge [/mm] 0
also
[mm] \summe_{i=1}^{n + 1}ai^2 \ge [/mm] 0.
2 (ak = 0 fuer k = 1, ..., n => [mm] a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] + ... + [mm] an^2 [/mm] = 0):
Basisfall: n = 2, dann gilt:
a1 = 0, a2 = 0, also
[mm] a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] = 0; [mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] = 0
Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] = 0 und [mm] a(n+1)^2 [/mm] =0
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] + [mm] a(n+1)^2 [/mm] =0 also
[mm] \summe_{i=1}^{n + 1}ai^2 [/mm] = 0
Stimmen die beiden Beweise so; also wuerde das als mathematischer Beweis durchgehen?
Meine Frage ist auch, wie bekomm ich das Ganze jetzt in die andere Richtung bewiesen? Also wie beweis ich:
[mm] a1^2 [/mm] + [mm] a2^2 [/mm] + ... + [mm] an^2 [/mm] = 0 => ak = 0 fuer k = 1, ..., n
Schonmal danke!
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:34 Di 03.04.2007 | | Autor: | Ankh |
> Beweisen Sie fuer reelle Zahlen a1, ..., an die Aussagen
>
> [mm]a1^2[/mm] + [mm]a2^2[/mm] + ... + [mm]an^2 \ge[/mm] 0 und
> [mm]a1^2[/mm] + [mm]a2^2[/mm] + ... + [mm]an^2[/mm] = 0 <=> ak = 0 fuer k = 1, ...,
> n.
> Hey,
> ich versuch hier grad die oben gestellte Aufgabe zu
> loesen. Geht um induktive Beweisfuehrung. Zwei der Beweise
> hab ich gemacht. Sagt mir mal bitte ob die als Beweise
> gueltig sind:
>
> 1 [mm](a1^2[/mm] + [mm]a2^2[/mm] + ... + [mm]an^2 \ge[/mm] 0):
>
> Basisfall: n = 2, dann gilt:
Warum fängst du mit n=2 an und nicht mit n=1?
> [mm]a1^2 \ge[/mm] 0 und [mm]a2^2 \ge[/mm] 0 (denn das Quadrat einer Zahl ist
> stets [mm]\ge[/mm] 0)
>
> Dann gilt durch Vertraeglichkeit mit der Addition:
>
> [mm]a1^2[/mm] + [mm]a2^2 \ge[/mm] 0. Damit waere die Aussage also fuer n = 2
> bewiesen.
>
> Induktion:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}ai^2 \ge[/mm] 0
Das ist die Induktionsvoraussetzung
> und a(n + [mm]1)^2 \ge[/mm] 0
und das gehört schon zum Beweis. Das sollte man besser voneinander abgrenzen.
>
> Jetzt gilt wieder Vertraeglichkeit mit Addition:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}ai^2[/mm] + a(n + [mm]1)^2 \ge[/mm] 0
> also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n + 1}ai^2 \ge[/mm] 0.
>
> 2 (ak = 0 fuer k = 1, ..., n => [mm]a1^2[/mm] + [mm]a2^2[/mm] + ... + [mm]an^2[/mm] =
> 0):
>
> Basisfall: n = 2, dann gilt:
Warum 2 und nicht 1?
> a1 = 0, a2 = 0, also
>
> [mm]a1^2[/mm] + [mm]a2^2[/mm] = 0; [mm]\summe_{i=1}^{n}ai^2[/mm] = 0
>
> Induktion:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}ai^2[/mm] = 0 und [mm]a(n+1)^2[/mm] =0
siehe oben
> [mm]\summe_{i=1}^{n}ai^2[/mm] + [mm]a(n+1)^2[/mm] =0 also
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n + 1}ai^2[/mm] = 0
>
> Stimmen die beiden Beweise so; also wuerde das als
> mathematischer Beweis durchgehen?
Im Prinzip alles richtig, die Struktur ist noch etwas überarbeitungswürdig.
> Meine Frage ist auch, wie bekomm ich das Ganze jetzt in die
> andere Richtung bewiesen? Also wie beweis ich:
>
> [mm]a1^2[/mm] + [mm]a2^2[/mm] + ... + [mm]an^2[/mm] = 0 => ak = 0 fuer k = 1, ..., n
Ganz genau so. Am besten mit n=1 anfangen, die Aussage ist dann offensichtlich. Der Induktionsschritt geht dann so:
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{i=1}^{n}{a_i}²=0 \Rightarrow a_k [/mm] = 0 für k = 1, ..., n
Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}{a_i}²=0 \Rightarrow a_k [/mm] = 0 für k = 1, ..., n+1
Induktionsbeweis:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}{a_i}²=0
[/mm]
...
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Ok, also muesste das so sein:
Induktionsvoraussetzung:
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] = 0 => ak = 0 fuer k = 1, ..., n
Sei n = 1, dann:
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] = [mm] a1^2; a1^2 [/mm] = 0; a1 = 0
Induktionsbehauptung:
[mm] \summe_{i=1}^{n + 1}ai^2 [/mm] = 0 => ak = 0 fuer k = 1, ..., n
Induktionsbeweis:
[mm] \summe_{i=1}^{n + 1}ai^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] + a(n + [mm] 1)^2
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}ai^2 [/mm] + a(n + [mm] 1)^2 [/mm] = 0
0 + a(n + [mm] 1)^2 [/mm] = 0; a(n + [mm] 1)^2 [/mm] = 0 => a(n + 1) = 0
Ist das in Ordnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Di 03.04.2007 | | Autor: | Ankh |
So würde ich es aufschreiben:
IA (INDUKTIONSANFANG)
(n = 1):
Sei [mm] $\summe_{i=1}^{1}a_i^2 [/mm] = 0.$
Mit [mm] $\summe_{i=1}^{1}a_i^2 [/mm] = [mm] a_1^2$ [/mm] folgt [mm] $a_1^2 [/mm] = 0$ und daraus [mm] $a_1 [/mm] = 0$.
IS (INDUKTIONSSCHRITT)
IV Induktionsvoraussetzung:
[mm]\summe_{i=1}^{n}a_i^2[/mm] = 0 => [mm] a_k [/mm] = 0 fuer k = 1, ..., n
Induktionsbehauptung:
[mm]\summe_{i=1}^{n + 1}a_i^2[/mm] = 0 => [mm] a_k [/mm] = 0 fuer k = 1, ..., n+1
Induktionsbeweis:
[mm] $\summe_{i=1}^{n + 1}a_i^2 [/mm] = 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $\summe_{i=1}^{n}a_i^2 [/mm] + [mm] {a_{n + 1}}^2= [/mm] 0$ (I)
Wir zeigen nun indirekt, dass [mm] $\summe_{i=1}^{n}a_i^2 [/mm] = 0$ gilt:
Angenommen, [mm] $\summe_{i=1}^{n}a_i^2 [/mm] > 0$
Dann folgt [mm] ${a_{n + 1}}^2 [/mm] <0$ aus (I), was nicht möglich ist.
Aus [mm] $\summe_{i=1}^{n}a_i^2 [/mm] = 0$ und (I) folgt
$0 + [mm] {a_{n + 1}}^2 [/mm] =0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $a_{n + 1} [/mm] = 0$
Mit IV gilt: [mm] a_k [/mm] = 0 fuer k = 1, ..., n+1.
Mit IA und IS gilt das zu Zeigende.
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