injektiv, surjektiv, bijektiv < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Mo 01.05.2006 | | Autor: | thoma2 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
a) [mm] f:\IN \to [/mm] {0,1}, n [mm] \mapsto \begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
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Hallo
Die Abbildung ist nicht injektiv, da es zu jedem y mehrere x gibt.
Die Abbildung ist surjektiv, da es zu jeden y min. ein x gibt.
Die Abbildung ist nicht bijektiv, da sie surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Das ist soweit klar, aber, wie schreibe ich das math.richtig ?
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] {0,1} [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] f(x)=y [mm] \Rightarrow [/mm] surjektiv
würde ich für surjektiv schreiben.
Aber, das ist doch auch nur eine Behauptung, die ich Beweisen müsste.
Meine konkrete Frage: Wie zeige/beweise ich, das die Abbildung surjektiv ist?
Oder reicht da " [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] {0,1} [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] f(x)=y [mm] \Rightarrow [/mm] surjektiv" völlig aus?
An der Schreibweise für injektiv, muss ich noch ein bischen überlegen.
edir dan später noch.
Dank euch schonmal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Das mit der Surjektivität würde ich im Prinzip genau so machen. Es geht ja letztlich darum zu zeigen, dass jedes Element aus deiner Zielmenge {0,1} mindestens ein Urbild hat (das hast du ja im Prinzip schon fast durch die Definition deiner Abbildung), sowie, dass auch wirklich alle Elemente aus den natürlichen Zahlen definitiv einem Wert zugeordnet werden (auch das sollte klar sein).
Du könntest die Surjektivität in diesem Fall auch derart lösen, dass du alle Elemente angibst, die Urbild von 0 bzw. 1 sind.
Sowas wie:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] {0,1} [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] : f(x)=y
f(x)=1 [mm] \forall [/mm] x=2n (n [mm] \in \IN)
[/mm]
f(x)=0 [mm] \forall [/mm] X=2n-1 (n [mm] \in \IN)
[/mm]
Aber das ist wie gesagt ansich durch die Abbildung eh klar.
Um zu zeigen dass es nicht injektiv ist, genügt es ja ein Gegenbeispiel zu bringen.
Wie wäre es zum Beispiel, wenn du dir mal f(2) und f(4) anschauen würdest?
Namárie,
sagt ein Lary, wo hofft, dass das so passt
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