injetiv, surjektiv, total < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, KollegInnen!
Ich habe folgende Aufgabenstellung und weiß leider nicht, wie ich damit umgehen soll:
Gegeben ist die Funktion f: {x E R/ 0 <=x <=1} -> {x E R/ x >=1} mit
f(x) = 1/x.
Es soll bestimmt werden, ob die Fkt. injektiv, surjektiv bzw. total ist.
Ich kenne grundsätzlich die Def. für die o.g. Begriffe aber kann diesen Ausdrücken in den Klammern bzw. dem Pfeil nicht ganz folgen.
Ist der Inhalt der linken Klammerung der Wertebereich und der rechte Teil der Abbildungsbereich?
Kann mir vielleicht jemand dabei weiterhelfen, wie man im Detail surjektiv/injektiv/total bestimmt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke im voraus!!
RoterBlitz
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Halli hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Zunächst würd ich dich gern bitten, dich mal mit dem formeleditor anzufreunden!
Er ist echt nicht schwer zu handhaben, und erleichtert allen hilfsbereiten das verstehen deiner Frage!
zu der kommen wir nun aber auch:
> Gegeben ist die Funktion f: {x E R/ 0 <=x <=1} -> {x E R/ x
> >=1} mit
> f(x) = 1/x.
[mm] f:\{x\in\IR | 1\le{x}\le{1}\}\to\{x\in\IR | x\ge1\}, x\mapsto\bruch{1}{x}
[/mm]
> Es soll bestimmt werden, ob die Fkt. injektiv, surjektiv
> bzw. total ist.
> Ich kenne grundsätzlich die Def. für die o.g. Begriffe
> aber kann diesen Ausdrücken in den Klammern bzw. dem Pfeil
> nicht ganz folgen.
Also den Begriff "total" kenne ich nicht! Ich kenne nur Bijektivität, also wenn Injektivität und Surjektivität gleichzeitig erfüllt sind.....
> Ist der Inhalt der linken Klammerung der Wertebereich und
> der rechte Teil der Abbildungsbereich?
Das kann man so sagen!
Man betrachtet also alle [mm] x\in[0,1], [/mm] und als Wertebereich nimmt man [mm] [1,\infty]
[/mm]
> Kann mir vielleicht jemand dabei weiterhelfen, wie man im
> Detail surjektiv/injektiv/total bestimmt?
also einige Hilfen findest du zum einen in der Mathebank, zum Beispiel hier
 injektiv
Außerdem findest du zu dem Thema schon so manchen Thread (über die Suche)
Probier es doch einfach mal und schreib uns wie weit du kommst, und was du dir so überlegt hast!
Liebe Grüße
Ulrike
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Hallo, nochmals!
Also bedeutet das, daß ich nun für die Funktion [mm] \bruch{1}{x} [/mm] gemäß der linken Klammerung für die x-Werte nur 0 bis 1 nehmen darf und entsprechend den y-Wert berechne?
Also wenn x = 0 dann wäre y = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
wenn x = 1 dann wäre y = [mm] \bruch{1}{1} [/mm] = 1.
Wieso aber steht in dem zweiten Klammerausdruck aber wieder daß
x [mm] \ge [/mm] 1 sein soll?
LG und Danke,
Roter Blitz
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Also bedeutet das, daß ich nun für die Funktion
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] gemäß der linken Klammerung für die x-Werte
> nur 0 bis 1 nehmen darf und entsprechend den y-Wert
> berechne?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also wenn x = 0 dann wäre y = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] = [mm]\infty
[/mm]
jetzt musst du aber schauen, ob das auch zugelassen ist, also ob das auch zum wertebereich gehört, das ist das was du als zweiten klammerausdruck bezeichnest, aber es gilt [m] \infty \not\in \{ x \in \mathbb{R} | x \geq 1 \} [/m], also ist $f$ an der stelle $x=0$ undefiniert.
> wenn x = 1 dann wäre y = [mm]\bruch{1}{1}[/mm] = 1.
genau. betrachtest du alle werte von $(x)$ für $x$ zwischen $0$ und $1$, so siehst du, dass diese auch zulässig sind, da diese alle reelle zahlen größer oder gleich $1$ sind.
> Wieso aber steht in dem zweiten Klammerausdruck aber wieder
> daß
> x [mm]\ge[/mm] 1 sein soll?
dies ist wie schon gesagt der wertebereich. dein $x$ kommt aus dem ersten ausdruck, also [m] x \in [0,1] [/m] und die funktion $f$ bildet dies nun in die zweite menge ab, soweit dies möglich ist, also [m]f(x) = \frac{1}{x} \in \{y \in \mathbb{R} | y \geq 1 \} [/m] (dabei habe ich jetzt das $x$ einfach mal in $y$ umebenannt, dann wird das vielleicht deutlicher). hier noch eine skizze der funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Do 06.01.2005 | | Autor: | RoterBlitz |
Hallo Andreas!
Herzlichen Dank für die Erklärung. Nun werde ich mich gleich über meine 2. Aufgabe hermachen, mal sehen ob ich's verstanden habe!
LG,
RoterBlitz
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Hallo, Andreas.. hätte da noch eine Frage:
Du hast geschrieben: f ist an der Stelle x = 0 undefiniert... hmm.. gehört undendlich also nicht zu den rationalen Zahlen?
und ich schätze die Angabe von [mm] \not\in \{x \in \IR |x \ge 1 \} [/mm] da ist das erste [mm] \not\in [/mm] ein Tippfehler?
Wie kann ich eigentlich direkt Bezug auf Deine Antwort nehmen? Also in Deinen Text schreiben?
Und danke für den Hinweis, daß ich besser Fragen formulieren sollte .. naja, ich hoffe das wird mit der Zeit  ))
LG und danke,
RoterBlitz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Du hast geschrieben: f ist an der Stelle x = 0
> undefiniert... hmm.. gehört undendlich also nicht zu den
> rationalen Zahlen?
also ersteinmal gehört [m] \infty [/m] nicht zu den rationalen zahlen [m] \mathbb{Q} [/m], also den brüchen. hier geht es aber um die reellen zahlen [m] \mathbb{R} [/m], das ist eine noch größere menge, da gehören die irrationalen zahlen, also z.b. [m] \sqrt{2}, \pi, \textrm{e} [/m] auch noch dazu - vielleicht hast du ja bei der einen oder anderen zahl schon mal einen beweis gesehen, dass diese sich nicht als bruch darstllen lässt. es gilt, also [m] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/m], die rationalen zahlen sind also teilmenge der reelen zahlen. aber auch zu diesen gehört [mm] $\infty$ [/mm] nicht dazu!
> und ich schätze die Angabe von [mm]\not\in \{x \in \IR |x \ge 1 \}[/mm]
> da ist das erste [mm]\not\in[/mm] ein Tippfehler?
das war ein tippfehler. an dieser stelle sollte eigentlich [mm] $\infty \not\in \{ x \in \mathbb{R} | x \geq 1 \}$ [/mm] stehen - habe ich jetzt verbessert.
> Wie kann ich eigentlich direkt Bezug auf Deine Antwort
> nehmen? Also in Deinen Text schreiben?
einfach auf meine antwort gehen und auf "Ich möchte jetzt eine Frage zu dieser Antwort stellen." klicken. dann gibt es unter dem eingabefenster einen button "Zitieren". das kopiert meinen gesamten text in das eingabe fenster.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:27 Fr 07.01.2005 | | Autor: | RoterBlitz |
für Deine geduldige Unterstützung
RoterBlitz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mi 05.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
meines wissens wird der begriff "total" häufiger von informatikern gebraucht. diese nennen eine funktion dann total, wenn sie auf dem gesamten urbildbereich definiert ist, wenn sie teilweise undefiniert ist heißt die abbildung partiell.
in diesem beispiel muss man sich also überlegen, ob es zu jedem [m] x \in [0,1] [/m] ein [m] \frac{1}{x} \in \mathbb{R} [/m] gibt. ein heißer kandidat, für den es schief gehen kann, wäre da doch [m] x = 0 [/m]. 
grüße
andreas
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Hallo, nochmal!
Anbei also mein nächster Versuch Aufgabe 2:
[mm] \{x \in \IR / x >2 \} \to [/mm] { x [mm] \in \IR [/mm] / 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1} mit g(x) = [mm] \bruch{1}{2x}
[/mm]
Ich nehme alle x die > 2 sind und berechne lt. der Funktion g(x) die y-Werte:
x = 3 dh. y = 1/6
x = 4 dh. y = 1/8
usw.
Jetzt schaue ich ob 1/6 bzw. 1/8 im Wertebereich zwischen 0 und 1 liegen (2. Klammerausdruck). Ist ja der Fall.
(Die Funktion sieht so ähnlich aus wie die vorherige - wie hast Du das grafisch eigentlich so hingebracht?)
injektiv: dh. es gibt für jeden x-Wert mind. einen y-Wert - JA
surjektiv: es gibt für jeden x-Wert max. einen y-Wert - ich dachte auch ja, aber leider sollte diese Funktion NICHT surjektiv sein??
Mit Deiner Vermutung, ob die Fkt total ist hast Du recht, dieser Begriff ist auch aus der Informatik, aber da die Begriffe inj/surj. häufiger in der Mathe anzutreffen sind und ich ja schon mit der Def. der Angabe Probleme habe, hab ich hier geposted
Danke und lG,
RoterBlitz
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Hallo, nochmal!
>
> Anbei also mein nächster Versuch Aufgabe 2:
>
> [mm]\{x \in \IR / x >2 \} \to \{ x \in \IR/ 0 \le x \le 1\} [/mm] mit [mm] g(x) = \bruch{1}{2x}
[/mm]
>
> Ich nehme alle x die > 2 sind und berechne lt. der Funktion
> g(x) die y-Werte:
>
> x = 3 dh. y = 1/6
> x = 4 dh. y = 1/8
> usw.
du musst beachten, dass es sich hier nicht nur um natürliche zahlen, sondern um reele zahlen handelt, dass also [m] x = \frac{25}{2} [/m] oder [m] x = \pi [/m] durchaus zugelassen ist! aber um sich einen groben überblick über die funktion zu beschaffen ist das durchaus nicht schlecht. und wenn sich die funktion so "brav" verhält wie diese kriegt man da auch ein ganz gutes bild!
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Jetzt schaue ich ob 1/6 bzw. 1/8 im Wertebereich zwischen 0
> und 1 liegen (2. Klammerausdruck). Ist ja der Fall.
> (Die Funktion sieht so ähnlich aus wie die vorherige - wie
> hast Du das grafisch eigentlich so hingebracht?)
da gibt es viel software - meist recht teuer. für eine günstige, um nicht zu sagen kostenlose kannst du ja mal ![[]](/images/popup.gif) hier schauen!
> injektiv: dh. es gibt für jeden x-Wert mind. einen y-Wert -
> JA
das ist bestimmt nicht injektiv, sondern soetwas wie total. das kannst du dann auch mit ja beantworten, also ist die funktion total!
> surjektiv: es gibt für jeden x-Wert max. einen y-Wert -
> ich dachte auch ja, aber leider sollte diese Funktion NICHT
> surjektiv sein??
das ist ein teil von wohldefiniertheit und bestimmt nicht surjektivität!
die begriffe injektiv und surjektiv solltets du dir dringend nochmal anschauen!
injektiv heißt soetwas wie, dass jeder $y$-wert höchstens einmal auftritt! so ist z.b. $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] mit definitionsbereich [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] bestimmt nicht injektiv, da z.b. der wert $f(x) = 1$ mehrmals auftritt, da [m]f(1) = 1 =f(-1) [/m] - anschaulich bedeutet das, wenn du paralelen zur $x$-achse in die grafik legst, so schneiden die den graphen der funktion höchstens einmal.
[Dateianhang nicht öffentlich]
surjektiv bedeutet, dass jeder wert aus dem wertebereich auftritt, in deinem fall also, dass es zu jedem [m] y \in \{ x \in \mathbb{R}| 0 \leq x \leq 1 \} [/m] ein [m] x \in \{ x \in \mathbb{R}| x > 2 \} [/m] gibt mit [m] f(x) = y [/m] was müsste man da für [m] y = 0.9 [/m] oder [m] y = 0 [/m] wählen?
> Mit Deiner Vermutung, ob die Fkt total ist hast Du recht,
> dieser Begriff ist auch aus der Informatik, aber da die
> Begriffe inj/surj. häufiger in der Mathe anzutreffen sind
> und ich ja schon mit der Def. der Angabe Probleme habe, hab
> ich hier geposted
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:09 Do 06.01.2005 | | Autor: | RoterBlitz |
Hmm.. also ja y = [mm] x^{2} [/mm] wäre nur im Bereich R+ injektiv (also nur der rechte Ast).
Deine Fragestellung/Hinweis mit injektiv habe ich nicht ganz verstanden..
f(x) = y ... y = 0.9 oder y = 0
Nun ja, das schlimme an der Sache ist, daß ich viele Definitionen gefunden habe für surj, inj. diese aber naja, für mich Laien nicht sehr aussagekräftig sind. Ich habe dann noch eine Darstellung gefunden, wo es Elemente in A gibt und in B und durch Pfeildarstellung gezeigt wird, was man unter den jeweiligen begriffen meint.
A -> B
x1 x4
x2 x5
x3
wenn x1 und gleichzeitig x2 auf x4 deuten und x3 auf x5 deutet ist die fkt. surjektiv
A -> B
x1 x3
x2 x4
x5
wenn x1 auf x4 und x2 auf x5 deutet dann ist die Fkt. injektiv (dh. x3 bleibt über)
A -> B
x1 x3
x2 x4
wenn x1 auf x3 und x2 auf x4 deutet dann bijektiv (= wenn surj und inj.)
LG, RoterBlitz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:12 Do 06.01.2005 | | Autor: | RoterBlitz |
ich meinte mit R+ den rechten OBEREN Ast (x und y zwischen 0 und pos. Zahlen).. ich hoffe das war präzise genug
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 06.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
erstmal ein tipp: wenn du auf eine antwort hoffst stelle am besten eine frage, das schauen sich dann mehr leute an, als mittielungen!
> Hmm.. also ja y = [mm]x^{2}[/mm] wäre nur im Bereich R+ injektiv
> (also nur der rechte Ast).
ja das stimmt.
> Deine Fragestellung/Hinweis mit injektiv habe ich nicht
> ganz verstanden..
> f(x) = y ... y = 0.9 oder y = 0
das sollte eigentlich ein hinweis zu surjektiv sein! gibt es irgendein elemnt, dass auf $y=0$ abgebildet wird, also gibt es ein $x$, so dass [m] 0 = \frac{1}{2x}[/m], denn bei surjektiven funktionen muss ja auf jedes element im wertebereich abgebildet werden!
(die selbe frage könnte man auch für [m] y = 1[/m] stellen, da dies ja auch zum wertebereich zählt, also gibt es ein [m] x \in \{ x \in \mathbb{R} \, | \, x > 2 \} [/m], so dass [m] 1 = \frac{1}{2x} = f(x) [/m]. nur wenn du das für jedes $y$ aus dem wertebereich, also für jedes [m]0 \leq y \leq 1 [/m], mit ja benatworten kannst, ist die funktion surjektiv!)
grüße
andreas
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