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Hallo.
Wenn man in 3D ein Integral in karthesischen Koordinaten in ein Integral im spherischen Raum transformiert, muss man ja drei Sachen machen:
- Integrationsgrenzen anpassen,
- Koordinatentransformation auf den Integrand anwenden,
- und [mm] $r^2\, \sin\phi \, dr\, d\varphi\, d\theta [/mm] = dx [mm] \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dz$ substituieren.
Wobei der Faktor [mm] $r^2 \sin \phi$ [/mm] in der letzten Substitution der absolute Wert der Determinante der zugehörigen Jacobian Matrix (J) ist.
Gut. Etwas oberflächlich, aber müsste soweit stimmen.
Kann ich daraus folgendes ableiten?
$ dr [mm] \, d\varphi \, d\theta [/mm] = [mm] \frac{1}{ r^2 sin \phi} \, [/mm] dx [mm] \, dy\, [/mm] dz$
Mit [mm] $\sin \phi [/mm] = [mm] \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$, [/mm] folgt $ dr [mm] \, d\varphi \, d\theta =\frac{ \sqrt{x^2+y^2}} {r^2 y}\, [/mm] dx [mm] \, dy\, [/mm] dz$
Ich habe mal $|det(J)|$ für spherische zu kartesische Koordinaten bestimmt.
Da bekomme ich heraus: [auch zu finden unter: [mm] \url{http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_common_coordinate_transformations}]
[/mm]
$J = [mm] \frac{\partial(\rho, \theta, \phi)}{\partial(x, y, z)} =\begin{pmatrix}\frac{x}{\rho} & \frac{y}{\rho} & \frac{z}{\rho} \\\frac{xz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{yz}{\rho^2\sqrt{x^2+y^2}} & -\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\rho^2}\\\frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} & 0\\\end{pmatrix}$
[/mm]
Als Faktor bekomme ich dann (bestimmt mit matlab):
[mm] $|det(J)|=\frac{1}{r*\sqrt{x^2+y^2}}$.
[/mm]
Somit würde folgen:
$ d r [mm] \, [/mm] d [mm] \varphi \, d\theta [/mm] = [mm] \frac{1}{r\sqrt{x^2 + y^2}}dx \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dz$.
Da würde ich spontan keine Äquivalenz zum oben genannten erkennen?
Was ist nun richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Do 27.09.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo pleaselook,
> Wenn man in 3D ein Integral in karthesischen Koordinaten in
> ein Integral im spherischen Raum transformiert, muss man ja
> drei Sachen machen:
> - Integrationsgrenzen anpassen,
> - Koordinatentransformation auf den Integrand anwenden,
> - und [mm]r^2\, \sin\phi \, dr\, d\varphi\, d\theta = dx \, dy \, dz[/mm]
> substituieren.
Hier muß [mm] $\sin\theta$ [/mm] statt [mm] $\sin\phi$ [/mm] stehen.
>
> Wobei der Faktor [mm]r^2 \sin \phi[/mm] in der letzten Substitution
> der absolute Wert der Determinante der zugehörigen
> Jacobian Matrix (J) ist.
>
> Gut. Etwas oberflächlich, aber müsste soweit stimmen.
>
>
> Kann ich daraus folgendes ableiten?
> [mm]dr \, d\varphi \, d\theta = \frac{1}{ r^2 sin \phi} \, dx \, dy\, dz[/mm]
>
> Mit [mm]\sin \phi = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}[/mm], folgt [mm]dr \, d\varphi \, d\theta =\frac{ \sqrt{x^2+y^2}} {r^2 y}\, dx \, dy\, dz[/mm]
Auch hier mußt Du [mm] $\phi$ [/mm] durch [mm] $\theta$ [/mm] ersetzen, wobei [mm] $\theta$ [/mm] der Winkel zwischen der positiven $z-Achse$ und dem Radiusvektor ist. Und dafür stimmt Deine Formel nicht!
Gruß,
Wolfgang
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Ok. Da hab ich mich wohl voll vertan. Hast absolut Recht.
Also nochmal:
Es gibt ja die Identität [mm] $\sin\theta=\frac{(x+\imath y)}{r \, e^{i\phi}}$.
[/mm]
Somit hätte man erstmal:
$ [mm] r^2\, \sin\theta \, dr\, d\varphi\, d\theta [/mm] = [mm] \frac{r(x+\imath y)}{ e^{i\phi}} \, dr\, d\varphi\, d\theta [/mm] = dx [mm] \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dz $. Da fällt mir erst mal keine Vereinfachung mehr zu ein.
Für die inverse Transformation müsste dann gelten:
$dr [mm] \, d\varphi \, d\theta [/mm] = [mm] \frac{1}{ r^2 sin \phi} \, [/mm] dx [mm] \, dy\, [/mm] dz = [mm] \frac{ e^{i\phi}}{r(x+\imath y)} \, [/mm] dx [mm] \, dy\, [/mm] dz$
Nun zum zweiten Ansatz (ändert sich nichts):
$d r [mm] \, [/mm] d [mm] \varphi \, d\theta [/mm] = [mm] \frac{1}{r\sqrt{x^2 + y^2}}dx \, [/mm] dy [mm] \, [/mm] dz$.
Wenn erster und zweiter Ansatz identisch sind, müsste gelten:
[mm] $\frac{1}{r\sqrt{x^2 + y^2}} [/mm] = [mm] \frac{r(x+\imath y)}{ e^{i\phi}} \gdw e^{i\phi} =r^2(x+\imath y)\sqrt{x^2 + y^2}
[/mm]
Da kenne ich aber auch nichts, was mir weiter hilft.
Frage nun: Mache ich erneut was falsch, oder sind beide Ansätze nicht gleich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Do 27.09.2012 | | Autor: | Helbig |
> Also nochmal:
>
> Es gibt ja die Identität [mm]\sin\theta=\frac{(x+\imath y)}{r \, e^{i\phi}}[/mm].
Stimmt nicht für den Punkt mit den kartesischen Koordinaten $(1, 0, 0)$, wenn ich Deine Formel richtig verstanden habe, d. h. [mm] $\phi=\varphi$ [/mm] und [mm] $\imath [/mm] = i$. Gleiches gleich zu bezeichnen erhöht die Lesbarkeit.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:49 Do 27.09.2012 | | Autor: | pleaselook |
Das [mm] $\theta$ [/mm] soll/muss in den Exponenten der exp-Fkt.. Habe die Gleichheit inzwischen auf einen anderen Weise gezeigt. Leider gerade keine Zeit das einzutippen. Mach ich die Tage noch.
Dennoch Danke!
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