intervallschachtelung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 03.11.2010 | | Autor: | mathetuV |
es geht um die intervallschachtelung:
[mm] [a_{1},b_{1}]:=[a,b] [/mm] ; [mm] a_{n+1}:=H(a_{n},b_{n}) [/mm] ;
[mm] b_{n+1}:=A(a_{n},b_{n}) [/mm] ;
zeige dass die derart definierteIntervalle eine Intervallschachtellung bilden mit [mm] \wurzel{ab} \forall. [/mm] helft mir bitte wie ich das zeigen soll.
lg
H ist das harmonische mittel und A ist das arithmetische Mittel.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 03.11.2010 | | Autor: | mathetuV |
hallo kann kir jemnd helfen?
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Zeige für positive a und b mit a < b:
a < A(a,b) < b und a < H(a,b) <b
sowie H(a,b)<A(a,b) [mm] (Tipp:(\wurzel{a}-\wurzel{b})^2>0 [/mm] dabei benutzen).
Das Schwierigste kommt noch: H(a,b)-A(a,b) [mm] \mapsto [/mm] 0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Fr 05.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du kannst aus der Definition der Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] beweisen, das gilt
(1) [mm] a_{n+1}
Aus (1) folgt [mm] a_n
Zusätzlich gilt [mm] a
Insgesamt ergibt sich also
[mm] a
Daraus folgt [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] sind monotone und beschränkte, also konvergente Folgen mit Grenzwerten [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n
[/mm]
Aus der Definition [mm] b_{n+1}=\bruch{a_n+b_n}{2} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}b_n=\mu
[/mm]
Aus der Definition der Folgen folgt [mm] a_{n+1}*b_{n+1}=a_n*b_n= [/mm] ... = [mm] a_1*b_1=a*b
[/mm]
Durch Grenzwertbildung folgt
[mm] \mu^{2}=a*b
[/mm]
Also ist der gemeinsame Grenzwert [mm] \mu=\wurzel{a*b} [/mm] und die Folge definiert eine Intervallschachtelung.
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