inverse einer Matrix über Gauß < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | bestimmen sie die inverse der matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
wenden sie das gauß-verfahren an |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich habe schon ein paar Inverse von Matrizen über Gauß berechnet...
weiß alsowie es funktioniert, aber bei dieser Matrix werde ich wahnsinnig...
bekomm es einfach nicht hin... schiebe die zahlen nur hin und her und komme auf der linken seite nicht auf die Einheitsmatrix...
kann mir bitte jemand helfen...
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Hi,
hier mein Vorschlag:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
III = III-I +II
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
III = III/2
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
II = II - III
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
I = I - II
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
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> Hi,
> hier mein Vorschlag:
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> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> III = III-I +II
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
kann ich irgendwie nicht nachvollziehen...
wenn ich erst III-I mache, dann:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
und dann?
mache das immer schritt für schritt...
>
> III = III/2
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> II = II - III
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> I = I - II
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
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Als erstes möchte ich daraus eine obere Dreiecksmatrix machen, da die erste und die zweite Zeile der Matrix die Bedingungen für jene erfüllen fange ich bei der dritten an:
ich subtrahiere die erste von der dritten, addiere die zweite und teile das dann noch durch 2.
III = (III - I +II) /2 war leider ein wenig missverständlich, da ich das "=" als Zuweisungsoperator benutzt habe. Ich hoffe du kannst die restlichen Schritte nachvollziehen, indem du dir nur die Matrizen anschaust.
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hm...
egal was ich mache ich komme nicht auf deine Gleichung...
> Als erstes möchte ich daraus eine obere Dreiecksmatrix
> machen, da die erste und die zweite Zeile der Matrix die
> Bedingungen für jene erfüllen fange ich bei der dritten
> an:
>
> ich subtrahiere die erste von der dritten,
da komme ich auf
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
addiere die
> zweite
da komm ich dann auf:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
>und teile das dann noch durch 2.
da komme ich auf:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1/2 & 1/2 & 0 }
[/mm]
was mach ich falsch??
>
> III = (III - I +II) /2 war leider ein wenig
> missverständlich, da ich das "=" als Zuweisungsoperator
> benutzt habe. Ich hoffe du kannst die restlichen Schritte
> nachvollziehen, indem du dir nur die Matrizen anschaust.
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[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
III - I
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 }
[/mm]
III + II
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
III /2
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
II - III
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
I - II
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:36 So 28.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> III - I
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 }[/mm]
aber da hast du doch einen Vorzeichenfehler....
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 } [/mm] da 1-0 = 1 und 0-1 = -1
>
> III + II
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> III /2
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> II - III
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> I - II
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
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ich hab jetzt durchgerechnet und komm ungefähr auf die Matrix... leider hab ich ein vorzeichenfehler den ich nicht finde...vielleicht sieht ihn jemand von euch:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
III = I - III
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & -1 }
[/mm]
III = II - III
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -1 & 1 & 1 }
[/mm]
III = III : 2
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & 1/2 }
[/mm]
II = III - II (danach II * (-1))
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & 1/2 }
[/mm]
I = II - I (danach I * (-1))
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & 1/2 }
[/mm]
danach wäre [mm] A^{-1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 }
[/mm]
... aber es müsste sein:
[mm] \pmat{ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 }
[/mm]
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Hallo dieBiene85,
> ich hab jetzt durchgerechnet und komm ungefähr auf die
> Matrix... leider hab ich ein vorzeichenfehler den ich nicht
> finde...vielleicht sieht ihn jemand von euch:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & | & 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> III = I - III
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 & 0 & -1 }[/mm]
>
> III = II - III
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & | & -1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> III = III : 2
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & 1/2 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> II = III - II (danach II * (-1))
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 1/2 & \red{1/2} \\ 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & 1/2 }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da steckt ein Vorzeichenfehler, es muss [mm] $\red{-\frac{1}{2}}$ [/mm] lauten ...
>
> I = II - I (danach I * (-1))
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 0 & | & 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 0 & 1 & | & -1/2 & 1/2 & 1/2 }[/mm]
>
> danach wäre [mm]A^{-1}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1/2 & -1/2 & -1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 }[/mm]
>
>
> ... aber es müsste sein:
>
>
> [mm]\pmat{ 1/2 & -1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 }[/mm]
>
>
Gruß
schachuzipus
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dankeschön... jetzt seh ichs auch... manchmal sieht man vor auter zahlen den fehler nicht 
ich habe noch eine frage zu dieser Matrix A (nicht A{-1})
und zwar:
wird durch sie eine Bewegung, eine Ähnlichkeitstransformation oder keines von beiden beschreiben?
A war:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
ich kann damit absolut nichts anfangen...
woran soll ich das erkennen?
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> dankeschön... jetzt seh ichs auch... manchmal sieht man
> vor auter zahlen den fehler nicht
>
> ich habe noch eine frage zu dieser Matrix A (nicht A{-1})
>
> und zwar:
>
> wird durch sie eine Bewegung, eine
> Ähnlichkeitstransformation oder keines von beiden
> beschreiben?
>
> A war:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> ich kann damit absolut nichts anfangen...
>
> woran soll ich das erkennen?
Hallo,
die Darstellungsmatrizen von Bewegungen sind orthogonal, die von Ähnlichkeitsabbildungen sind Vielfache einer orthogonalen Matrix.
Gruß v. Angela
>
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:33 So 28.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
> Hallo,
>
> die Darstellungsmatrizen von Bewegungen sind orthogonal,
> die von Ähnlichkeitsabbildungen sind Vielfache einer
> orthogonalen Matrix.
>
> Gruß v. Angela
>
>
bei einer 2x2-Matrix versteh ich das, aber bei dieser 3x3 Matrix bin ich verwirrt...
wenn ich mir die Orthogonalen ansehe:
111 und 110
muss ich beide einbeziehen oder suche ich mir eine aus?
ich würde demnach zu keinem vom beiden tendieren...
> >
> >
>
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> > Hallo,
> >
> > die Darstellungsmatrizen von Bewegungen sind orthogonal,
> > die von Ähnlichkeitsabbildungen sind Vielfache einer
> > orthogonalen Matrix.
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
> bei einer 2x2-Matrix versteh ich das, aber bei dieser 3x3
> Matrix bin ich verwirrt...
>
> wenn ich mir die Orthogonalen ansehe:
>
> 111 und 110
Hallo,
jetzt bin ich ratlos: was meinst Du mit Orthogonalen? Diagonalen?
>
> muss ich beide einbeziehen oder suche ich mir eine aus?
???
Vielleicht informierst Du Dich jetzt erstmal, was eine orthogonale Matrix ist - das kommt mir nicht ganz unsinnig vor...
Gruß v. Angela
>
> ich würde demnach zu keinem vom beiden tendieren...
> > >
> > >
> >
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> > > Hallo,
> > >
> > > die Darstellungsmatrizen von Bewegungen sind orthogonal,
> > > die von Ähnlichkeitsabbildungen sind Vielfache einer
> > > orthogonalen Matrix.
> > >
> > > Gruß v. Angela
> > >
> > >
> >
> > bei einer 2x2-Matrix versteh ich das, aber bei dieser 3x3
> > Matrix bin ich verwirrt...
> >
> > wenn ich mir die Orthogonalen ansehe:
> >
> > 111 und 110
>
> Hallo,
>
> jetzt bin ich ratlos: was meinst Du mit Orthogonalen?
> Diagonalen?
>
...genau die meinte ich...
> >
> > muss ich beide einbeziehen oder suche ich mir eine aus?
>
> ???
>
> Vielleicht informierst Du Dich jetzt erstmal, was eine
> orthogonale Matrix ist - das kommt mir nicht ganz unsinnig
> vor...
>
...ok habe ich getan...
also bei einer orthogonalen Matrix ist die det(A)=1
(Drehung det(A) = 1 und Spiegelung det(A)=-1)
... also habe ich die det berechnet und komme auf: det(A) = 2
...da du gesagt hast, die Ähnlichkeitstransformation ist ein Vielfaches,
gehe ich davon aus, dass meine Matrix eine Ähnlichkeitstransformation beschreibt...
korrekt?
> Gruß v. Angela
> >
> > ich würde demnach zu keinem vom beiden tendieren...
> > > >
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 Mo 29.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Bei orthogonalen Matrizes M ist Det(M)=1
aber das ist nur notwendig, nicht hinreichend für orthogonal!
du musst also noch immer nachprüfen ob die matrix ein vielfaches einer Orthogonalen ist. (orthogonal=senkrecht)
also sieh nach welche Eigenschaften eine orthogonalmatrix wirklich hat.
Gruss leduart
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habe mich mit jemandem unterhalten und wir sollen das irgendiwe über skalarprodukt (Winkel) testen... ich hab keine ahnung , was ich da machen soll...bin voll am verzweifeln...
schreib donnerstag klausur und weiß nicht wie das geht...
es geht irgendwie los...
hab die matrix
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A(e_1) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] A(e_2) [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] A(e_3) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und jetzt über skalarprodukt irgendwie den winkel berechnen und vergleichen und schauen, ob es sich um eine Ähnlichkeitstransformation handelt...
kann mir das bitte bitte jemand erklären?
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> habe mich mit jemandem unterhalten und wir sollen das
> irgendiwe über skalarprodukt (Winkel) testen... ich hab
> keine ahnung , was ich da machen soll...bin voll am
> verzweifeln...
>
> schreib donnerstag klausur und weiß nicht wie das geht...
>
> es geht irgendwie los...
>
> hab die matrix
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]A(e_1)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]A(e_2)[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]A(e_3)[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Hallo,
das sind die Spalten der Matrix, siehst Du das?
Dafür braucht man also nichts zu rechnen, was in der Klausur Zeit spart.
>
> und jetzt über skalarprodukt irgendwie den winkel
> berechnen und vergleichen und schauen, ob es sich um eine
> Ähnlichkeitstransformation handelt...
Ja.
Ähnlichkeitstransformationen erhalten Winkel, und die [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] bilden ja (immer zwei von ihnen) rechte Winkel.
1.
Nun mußt Du schauen, ob die Spaltenvektoren, also die drei Vektoren [mm] Ae_1, Ae_2, Ae_3 [/mm] auch paarweise orthogonal sind.
Dazu rechnest Du ihre Skalarprodukte aus (3 Produkte sind hierfür zu berechnen). Kommt immer 0 raus, so sind sie paarweise orthogonal.
Damit weißt Du, daß es sich um Ähnlichkeitsabbildungen (Bewegungen sind ein Spezialfall davon) handeln könnte.
Sind sie nicht paarweise orthogonal, so kannst Du Ähnlichkeit knicken.
2.
2.1.
Wenn sie orthogonal sind, berechnest Du die Länge der Vektoren. Sind alle gleichlang, so hast Du eine Ähnlichkeitsabbildung,
und wenn sie die Länge 1 haben, dann ist die Abbildung eine Bewegung.
Kommt verschiedenes raus, kannst Du Ähnlichkeit knicken.
2.2.
Alternativ (eigentlich ist's dassselbe): berechne das Produkt eines jeden der drei vektoren mit sich selbst.
Kommt überall dasselbe heraus, so ist's eine Ähnlichkeitsabbildung, kommt 1 raus, ist's sogar eine Bewegung.
Kommt verschiedenes raus, kannst Du Ähnlichkeit knicken.
Gruß v. Angela
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wow...danke für die super erklärung... 
hab die skalarprodukte berechnet (3stück) und überall kommt 1 raus,
da 1 [mm] \not= [/mm] 0: keine Ähnlichkeitstransformation... richtig?
eine frage habe ich noch:
mal angenommen es wäre eine Transformation und ich würde rechnen
[mm] [/mm] = [mm] |e_1| [/mm] * [mm] |e_2| [/mm] * cos (winkel)
was setzte ich für cos(winkel) für ein winkel ein...woher kenn ich den?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:31 Di 30.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass die Ftage nichts mehr mit der Matrix zu tun hat ist dir hoffentlich klar?
Wenn die e Einheityvektoren sind, ist das skalarpr. der cos des Winkels zw. den Vektoren, und wie man uas cos x x rauskriegt weisst du doch?
sonnst musst du eben
$ [mm] \bruch{}{|e_1| * |e_2|} [/mm] = cos (winkel) $
rechnen .
Gruss leduart
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