invertierbare/idempotente Mat. < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 13.06.2010 | | Autor: | Jewgenij |
| Aufgabe | Zeigen Sie für symmetrische Matrizen A ~ (n,n)
(i) A ist invertierbar <=> Null ist kein Eigenwert von A
(ii) A ist idempotent und invertierbar => det(A) > 0 |
Hallo liebe Lina-Experten!
Weiß vielleicht zufällig jemand wie das geht?
Müsste doch eigentlich irgendwie über charakteristisches Polynom laufen, oder?
Wäre echt der absolute Knaller!
Grüße, Jewgenij
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 13.06.2010 | | Autor: | Wredi |
überlege dir zum ersten doch mal: was wäre denn, wenn null ein eigenwert wäre? wie sehe dann das charakteristische Polynom aus?
und zum zweiten:
was heißt idempotent genau? (tipp: wikipedia)
und was hat hiermit a zu tun? das kannst du hier nutzen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 13.06.2010 | | Autor: | Jewgenij |
Tjaaaa:
A invertierbar <=>
A regulär (also hat vollen Rang) <=> [mm] det(A)\not=0 [/mm] <=>
[mm] det(A)=det(A-0*E)\not=0 [/mm] <=>
0 kein Eigenwert ????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Tjaaaa:
>
> A invertierbar <=>
>
> A regulär (also hat vollen Rang) <=> [mm]det(A)\not=0[/mm] <=>
>
> [mm]det(A)\red{=}det(A-\red{0}*E)\not=0[/mm] <=>
>
> 0 kein Eigenwert ????
nein, denn erstens sollte da oben:
[mm] $$\det(A-\blue{\lambda}E)$$
[/mm]
stehen, und zweitens ist die Frage, warum diese Gleichheit gelten sollte. So wäre z.B.
[mm] $$\det \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }=1,$$
[/mm]
aber
[mm] $$\det (A-\lambda E)=\det \pmat{ 1-\lambda & 0 \\ 0 & 1-\lambda}=(1-\lambda)^2\,.$$
[/mm]
Vielleicht machst Du den Beweis zu (i) mal in zwei Schritten [mm] $\text{(}$eine [/mm] kleine Umformulierung der Behauptung (i):
[mm] $$\text{A regulär} \gdw 0\text{ ist kein Eigenwert von }A\,\text{)}:$$
[/mm]
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Sei [mm] $A\,$ [/mm] regulär (insbesondere hat dann [mm] $A\,$ [/mm] vollen Rang) und angenommen, [mm] $0\,$ [/mm] wäre Eigenwert von [mm] $A\,.$ [/mm] Ist [mm] $x_0\not=0$ [/mm] ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda_0:=0$, [/mm] so gilt [mm] $Ax_0=\lambda_0*x_0=0\,.$ [/mm] Wie sieht es denn dann mit der Injektivität von [mm] $A\,$ [/mm] (oder meinetwegen der linearen Abbildung $x [mm] \mapsto [/mm] A*x$) aus? Kann dann [mm] $A\,$ [/mm] noch vollen Rang haben?
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei [mm] $0\,$ [/mm] kein Eigenwert von [mm] $A\,,$ [/mm] aber wir nehmen an, [mm] $A\,$ [/mm] sei nicht regulär. Dann ist [mm] $A\,$ [/mm] nicht injektiv oder nicht surjektiv. Als $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix kann dann [mm] $A\,$ [/mm] in beiden Fällen nicht injektiv sein (Warum?). Also gibt es [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] mit [mm] $Ax_0=0\,.$ [/mm] Für [mm] $\lambda_0:=0$ [/mm] gilt dann aber
[mm] $$Ax_0=0=\lambda_0 x_0\,,$$ [/mm]
im Widerspruch dazu, dass [mm] $\lambda_0=0$...?
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 So 13.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie für symmetrische Matrizen A ~ (n,n)
>
> (i) A ist invertierbar <=> Null ist kein Eigenwert von A
>
> (ii) A ist idempotent und invertierbar => det(A) > 0
> Hallo liebe Lina-Experten!
>
> Weiß vielleicht zufällig jemand wie das geht?
> Müsste doch eigentlich irgendwie über charakteristisches
> Polynom laufen, oder?
> Wäre echt der absolute Knaller!
(ii) folgt aus dem Rechengesetz [mm] $\blue{\det (A*B)=\det (A)*\det (B)}$ [/mm] und weil für invertierbares [mm] $A\,$ [/mm] halt [mm] $\det [/mm] (A) [mm] \not=0$ [/mm] gilt. Denn $A [mm] \circ [/mm] B$ für Matrizen ist nichts anderes als die Matrixmultiplikation [mm] $A*B\,:$
[/mm]
[mm] $$\blue{A \circ B= A *B}\,.$$
[/mm]
Also:
Da man in (ii) [mm] $A\,$ [/mm] als invertierbar (bzw. regulär) voraussetzt, gilt [mm] $\det [/mm] (A) [mm] \not=0\,.$ [/mm] Und jetzt benutze das oben gesagte mit [mm] $\blue{B=A}$ [/mm] (unter Beachtung, dass $x [mm] \in \IR \setminus \{0\} \Rightarrow x^2 [/mm] > 0$ gilt):
[mm] $$\det(A)\underset{\substack{\text{wegen }A=A \circ A\\\text{da A idempotent}}}{=}\det(A \circ A)=\ldots.$$
[/mm]
P.S.:
Eigentlich kann man in (ii) sogar ohne weiteres [mm] $\det(A)=1$ [/mm] folgern.
Beste Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mo 14.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Zu b): aus
[mm] $A^2=A$ [/mm] und A invertierbar folgt $A=E$
(E = Einheitsmatrix)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 Mo 14.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Zu b): aus
>
> [mm]A^2=A[/mm] und A invertierbar folgt [mm]A=E[/mm]
>
>
> (E = Einheitsmatrix)
stimmt, und damit hat man so die ziemlich einfachste Begründung, warum auch [mm] $\det(A)=1$ [/mm] ist 
Beste Grüße,
Marcel
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