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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Das Polynom x³-7x²+144 ist irreduzibel in [mm] \IQ[x] [/mm] |
Hallo zusammen. Ich habe zunächst versucht das Polynom auf [mm] \IZ_{p}[x] [/mm] zu redzieren. Mit p=5 hat es geklappt, da gibt es zunächst mal keine Nullstellen:
In [mm] \IZ_{5}[x] [/mm] wird f(x)=x³-7x²+144 transformiert zu g(x)=x³+3x²+4 und das hat für x [mm] \in [/mm] {0,1,2,3,4} keine Nullstellen.
Jetzt möchte ich ja zeigen, dass g(x) irreduzibel ist. Also dass g(x) nicht als Produkt zweier nicht Einheiten geschrieben werden kann. Da es keine Nullstellen gibt, weiß ich zunächst nur, dass es eine Zerlegung mit einem Linearen Faktor nicht gibt (über [mm] \IZ_5). [/mm] Was muss ich denn nun weiter untersuchen? Etwa ein allgemeines Produkt von 2 Polynomen zweiten Gerades?
Liebe Grüße, kulli
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Hallo kullinarisch,
> Zeigen Sie: Das Polynom x³-7x²+144 ist irreduzibel in
> [mm]\IQ[x][/mm]
> Hallo zusammen. Ich habe zunächst versucht das Polynom
> auf [mm]\IZ_{p}[x][/mm] zu redzieren. Mit p=5 hat es geklappt, da
> gibt es zunächst mal keine Nullstellen:
>
> In [mm]\IZ_{5}[x][/mm] wird f(x)=x³-7x²+144 transformiert zu
> g(x)=x³+3x²+4 und das hat für x [mm]\in[/mm] {0,1,2,3,4} keine
> Nullstellen.
Sehr schön.
> Jetzt möchte ich ja zeigen, dass g(x) irreduzibel ist.
> Also dass g(x) nicht als Produkt zweier nicht Einheiten
> geschrieben werden kann. Da es keine Nullstellen gibt,
> weiß ich zunächst nur, dass es eine Zerlegung mit einem
> Linearen Faktor nicht gibt (über [mm]\IZ_5).[/mm] Was muss ich denn
> nun weiter untersuchen? Etwa ein allgemeines Produkt von 2
> Polynomen zweiten Gerades?
Das ergäbe ein Polynom vierten Grades.
Ein Polynom dritten Grades muss, um überhaupt eine Nullstelle zu haben, wenigstens in einen linearen und einen quadratischen Faktor zerlegbar sein, oder aber in drei lineare. Gibt es also keinen linearen Faktor, ist das Polynom irreduzibel.
Soweit also in [mm] \IZ_5[x]. [/mm] Was heißt das nun für [mm] $\IQ[x]$?
[/mm]
Grüße
reverend
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> Hallo kullinarisch,
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> > Zeigen Sie: Das Polynom x³-7x²+144 ist irreduzibel in
> > [mm]\IQ[x][/mm]
> > Hallo zusammen. Ich habe zunächst versucht das Polynom
> > auf [mm]\IZ_{p}[x][/mm] zu redzieren. Mit p=5 hat es geklappt, da
> > gibt es zunächst mal keine Nullstellen:
> >
> > In [mm]\IZ_{5}[x][/mm] wird f(x)=x³-7x²+144 transformiert zu
> > g(x)=x³+3x²+4 und das hat für x [mm]\in[/mm] {0,1,2,3,4} keine
> > Nullstellen.
>
> Sehr schön.
>
> > Jetzt möchte ich ja zeigen, dass g(x) irreduzibel ist.
> > Also dass g(x) nicht als Produkt zweier nicht Einheiten
> > geschrieben werden kann. Da es keine Nullstellen gibt,
> > weiß ich zunächst nur, dass es eine Zerlegung mit einem
> > Linearen Faktor nicht gibt (über [mm]\IZ_5).[/mm] Was muss ich denn
> > nun weiter untersuchen? Etwa ein allgemeines Produkt von 2
> > Polynomen zweiten Gerades?
>
> Das ergäbe ein Polynom vierten Grades.
>
> Ein Polynom dritten Grades muss, um überhaupt eine
> Nullstelle zu haben, wenigstens in einen linearen und einen
> quadratischen Faktor zerlegbar sein, oder aber in drei
> lineare. Gibt es also keinen linearen Faktor, ist das
> Polynom irreduzibel.
>
> Soweit also in [mm]\IZ_5[x].[/mm] Was heißt das nun für [mm]\IQ[x][/mm]?
>
> Grüße
> reverend
>
Das klingt plausibel!
Wenn damit also gezeigt ist, dass g(x) in [mm] \IZ_5[x] [/mm] irreduzibel ist, folgt, dass f(x) in [mm] \IZ[x] [/mm] irreduzibel ist und daraus folgt wiederum, dass f(x) in [mm] \IQ[x] [/mm] irreduzibel ist (nach dem Lemma von Gauß). Damit wäre das ja abgehakt.
Vielen Dank bis hier
Was ist denn nun, wenn ich z.B. ein Polynom 4. Gerades über [mm] \IZ[x] [/mm] betrachte und eine Reduzierung in [mm] \IZ_p[x] [/mm] finde, s.d. das reduzierte Polynom keine Nullstellen hat. Muss ich dann immer ein allgemeines Produkt [mm] (a_1x^2+a_2x+a_3)(b_1x^2+b_2x+b_3) [/mm] betrachten und dann zeigen (falls es der Fall ist), dass die Koeffizienten nicht aus [mm] \IZ_p [/mm] sein können? Ich finde das je nachdem sehr mühselig. Ist das die einzige Möglichkeit? Oder gibt es noch einen anderen Weg?
Grüße, kulli
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mo 26.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
erstmal eine Frage: Bist du dir bei der Schreibweise [mm] \IZ_p[x] [/mm] sicher? Da hier ja der Polynomring über dem endlichen Körper mit p Elementen gemeint ist, sollte da [mm] \IF_p[x] [/mm] stehen! Da musst du aufpassen!
So nun zu deiner Frage. Im Grunde musst du diesen allgmeinen Ansatz machen und dann eben Koeffizientenvergleich. Meistens funktioniert aber eine Betrachtung modulo zwei oder drei. In [mm] \IF_2[x] [/mm] und [mm] \IF_3[x] [/mm] gibt es nicht allzu viele irreduzible Polynome. Diese sollte man auswendig können, dann führt eine einfache Polynomdivision relativ schnell zum Ziel.
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Di 27.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> erstmal eine Frage: Bist du dir bei der Schreibweise
> [mm]\IZ_p[x][/mm] sicher? Da hier ja der Polynomring über dem
> endlichen Körper mit p Elementen gemeint ist, sollte da
> [mm]\IF_p[x][/mm] stehen! Da musst du aufpassen!
Die Schreibweise [mm] $\IZ_p$ [/mm] wird oft als Abkuerzung fuer [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] verwendet. Wenn also $p$ prim ist, ist [mm] $\IF_p [/mm] = [mm] \IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$.
[/mm]
Allerdings wird gerade in der Zahlentheorie [mm] $\IZ_p$ [/mm] auch fuer die $p$-adischen Ganzzahlen verwendet, was etwas voellig anderes als [mm] $\IZ/p\IZ [/mm] = [mm] \IF_p$ [/mm] ist...
LG Felix
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Hallo nochmal,
> > Soweit also in [mm]\IZ_5[x].[/mm] Was heißt das nun für [mm]\IQ[x][/mm]?
>
> Das klingt plausibel!
> Wenn damit also gezeigt ist, dass g(x) in [mm]\IZ_5[x][/mm]
> irreduzibel ist, folgt, dass f(x) in [mm]\IZ[x][/mm] irreduzibel ist
> und daraus folgt wiederum, dass f(x) in [mm]\IQ[x][/mm] irreduzibel
> ist (nach dem Lemma von Gauß). Damit wäre das ja
> abgehakt.
Jawoll.
> Was ist denn nun, wenn ich z.B. ein Polynom 4. Gerades
> über [mm]\IZ[x][/mm] betrachte und eine Reduzierung in [mm]\IZ_p[x][/mm]
> finde, s.d. das reduzierte Polynom keine Nullstellen hat.
> Muss ich dann immer ein allgemeines Produkt
> [mm](a_1x^2+a_2x+a_3)(b_1x^2+b_2x+b_3)[/mm] betrachten und dann
> zeigen (falls es der Fall ist), dass die Koeffizienten
> nicht aus [mm]\IZ_p[/mm] sein können? Ich finde das je nachdem sehr
> mühselig.
Das ist es. Aber im Prinzip müsstest Du so vorgehen. Es empfiehlt sich dabei natürlich, p möglichst klein zu wählen. 
> Ist das die einzige Möglichkeit? Oder gibt es
> noch einen anderen Weg?
Hattet Ihr das ![[]](/images/popup.gif) Eisensteinkriterium schon? Das ist oft sehr hilfreich. Meist muss man aber noch x irgendwie substituieren (z.B. durch [mm] \hat{x}=x-1 [/mm] oder meinetwegen [mm] $\tilde{x}=x+2$), [/mm] hat dafür aber eine direkte Antwort.
Grüße
reverend
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Hallo hallo! Danke für die Antworten. Mit dem Beitrag von felixf wär das ja geklärt. Mein Professor hat eben diese Schreibweise [mm] \IZ_p [/mm] gewählt , wobei p eine Primzahl ist. Für p=2 oder p=3 ist das echt ne schöne Sache, danke teo.
Das Eisenstein- Kriterium ist mir auch bekannt. Aber großen Spaß macht es auch nicht ein Polynom der Form [mm] x^5+...+a_1x+a_0 [/mm] damit zu untersuchen, wenn man erst noch substituieren muss. Es sein denn, man sitzt nicht in der Klausur und hat wolframalpha oder sowas zur Hilfe.
Naja gut, ich hake das hiermit ab und bedanke mich!
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