isomorphe Abelsche Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeige: Die Menge {id, <1,2><3,4>, <1,3><2,4>, <1,4><2,3>} bildet eine zum direkten Produkt [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \times \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ [/mm] isomorphe Abelsche Untergruppe von [mm] S_{4}, [/mm] die sogenannte Kleinsche Vierergruppe. |
Hallo!
Was eine isomorphe Abelsche Untergruppe ist weiß ich schon, zeigen kann ich es dennoch nicht.
Der Begriff Kleinsche Vierergruppe ist mir aber unbekannt, ist aber anscheinend die Bezeichnung für die gesuchte Untergruppe.
Konnte mir jemand erklären wie es geht und/oder mir ein Beispiel mit einer anderen Menge zeigen, damit ich es vertehe.
Danke im Voraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:23 Mo 04.06.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Studentin!
> Zeige: Die Menge {id, <1,2><3,4>, <1,3><2,4>, <1,4><2,3>}
> bildet eine zum direkten Produkt [mm]\IZ[/mm] / [mm]2\IZ \times \IZ[/mm] /
> [mm]2\IZ[/mm] isomorphe Abelsche Untergruppe von [mm]S_{4},[/mm] die
> sogenannte Kleinsche Vierergruppe.
> Was eine isomorphe Abelsche Untergruppe ist weiß ich
> schon, zeigen kann ich es dennoch nicht.
Daß es eine abelsche Untergruppe ist, zeigst du am einfachsten mit Hilfe der Verknüpfungstafel. Dabei brauchst du die Assoziativität nicht mehr zu prüfen, weil die schon in der Obergruppe [mm] S_{4} [/mm] gilt.
> Der Begriff Kleinsche Vierergruppe ist mir aber unbekannt,
> ist aber anscheinend die Bezeichnung für die gesuchte
> Untergruppe.
Die Kleinsche Vierergruppe ist die Isomorphieklasse von [mm]\IZ[/mm] / [mm]2\IZ \times \IZ[/mm] / [mm]2\IZ[/mm]. Oder anders: Jeder Vertreter aus dieser Isomorphieklasse ist eine Kleinsche Vierergruppe.
> Konnte mir jemand erklären wie es geht und/oder mir ein
> Beispiel mit einer anderen Menge zeigen, damit ich es
> verstehe.
Wenn du zeigen willst, daß die beiden isomorph sind, reicht es doch, einfach einen Isomorphismus f anzugeben. f muß das neutrale Element auf das neutrale Element abbilden, also f(id) = (0, 0). Jetzt hast du insgesamt noch 6 Möglichkeiten für den Rest, und das Tolle ist: Es sind alles Isomorphismen. Was du aber nachweisen müßtest, indem du alle Fälle für f(ab) = f(a)f(b) durchhechelst.
Viel Spaß dabei und einen schönen Tag
Dieter
|
|
|
|
