isomorphe Gruppen < Graphentheorie < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei + die (übliche) Addition auf [mm] \IR [/mm] und * die (übliche) Multipliaktion auf R^+. Zeigen Sie, dass die Gruppen [mm] (\IR^+,*) [/mm] und [mm] (\IR,+) [/mm] isomorph sind. |
Damit die isomorph sind, muss Ich ja die homomorphiebedingung und die bijektivität zeigen. Jedoch habe Ich jetzt keine Ahnung, wie Ich das an diesem Beispiel machen kann...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 So 13.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
du suchst doch eine bijektive abbildung $f: [mm] \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^+$, [/mm] welche $f(x + y) = f(x)f(y)$ erfüllt. welche abbildungen kennst du (aus der schule), die solch eine funktionalgleichung erfüllen?
grüße
andreas
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Du meinst die Potenzfunktionen?
z.B. gilt ja für [mm] n\in \IN: n^{x+y}=n^x*n^y
[/mm]
Die untersuche Ich dann auf die Homomorphebedingung und die Bijektivität?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 13.01.2008 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo,
Genau die sind gemeint.
du musst halt die Gruppenaxiome beweisen
- neutrales
- inverses
- assoziativgesetz
- abgeschlossenheit
und dann bijektivität (injektiv, surjektiv)
schöne Grüße
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hmm...muss Ich nicht einfach zeigen:
[mm] f(u*v)=n^{u*v}=n^u*n^v=f(u)*f(v)
[/mm]
und dann noch die Bijektivität?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 So 13.01.2008 | | Autor: | Dr.Sway |
hallo,
Das ist nicht korrekt.
du willst ja von der additiven in die multiplikative abbilden...
also
f(u+v) = [mm] n^{u+v} [/mm] = [mm] n^u [/mm] * [mm] n^v [/mm] = f(u) * f(v)
genau, dann noch bijektivität
schönen Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 So 13.01.2008 | | Autor: | RWB-Lucio |
Oh ja, stimmt...
vielen lieben Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 So 13.01.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Du meinst die Potenzfunktionen?
> z.B. gilt ja für [mm]n\in \IN: n^{x+y}=n^x*n^y[/mm]
das sollte für $n [mm] \geq [/mm] 2$ funktionieren. alternativ kannst du auch $f(x) = [mm] \exp [/mm] x$ wählen.
> Die untersuche Ich dann auf die Homomorphebedingung und die
> Bijektivität?
genau. zeige, dass $f$ ein gruppenhomomorphismus und bijektiv ist. dann bist du fertig.
grüße
andreas
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