isomorphismus < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:29 Di 04.12.2007 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | X, Y sind zwei K-Vektorräume mit endlicher Dimension. f [mm] \in [/mm] Hom(X,Y), g [mm] \in [/mm] Hom(Y,X)
es gilt f [mm] \circ [/mm] g [mm] \circ [/mm] f = f und g [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g =g |
meine vermutung ist, dass f und g isomorphismen sind und das möchte ich zeigen.
das problem ist ich weiss nicht wie.
kann ich einfach unbegründet (da man es sieht) sagen f = g^(-1), damit ist f umkehrbar und ein isomorphismus?
oder bedarf es einer besseren beweisführung...
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> X, Y sind zwei K-Vektorräume mit endlicher Dimension. f [mm]\in[/mm]
> Hom(X,Y), g [mm]\in[/mm] Hom(Y,X)
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> es gilt f [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] f = f und g [mm]\circ[/mm] f [mm]\circ[/mm] g =g
> meine vermutung ist, dass f und g isomorphismen sind und
> das möchte ich zeigen.
>
> das problem ist ich weiss nicht wie.
>
> kann ich einfach unbegründet (da man es sieht) sagen f =
> g^(-1), damit ist f umkehrbar und ein isomorphismus?
Hallo,
Du glaubst doch nicht wirklich, das man das kann!
> oder bedarf es einer besseren beweisführung...
Es bedarf nicht einer besseren Beweisführung, sondern es bedarf überhaupt einer Beweisführung.
> (da man es sieht)
Wenn Du es siehst, mußt Du das, was Du siehst, durch eine Beweisführung, bauend auf Sätze und Defs der Vorlesung verifizieren.
Manchmal schielt man ja auch.
Schau mal:
f: [mm] \IR^3\to \IR^2
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y\\z} \mapsto \vektor{x \\ y}
[/mm]
[mm] g:\IR^2\to \IR^3
[/mm]
[mm] \vektor{x \\ y} \mapsto \vektor{x \\ y\\0}
[/mm]
Schau Dir die Verkettungen f [mm]\circ[/mm] g [mm]\circ[/mm] f und g [mm]\circ[/mm] f [mm]\circ[/mm] g an.
f und g sind sicher keine Isomorphismen.
Gruß v. Angela
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