jordan-normalform für die umkehrfunktion < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Mo 26.07.2004 | | Autor: | tes |
hallo! :)
ich lerne gerade auf meine LA-klausur und verzweifle an folgender aufgabe:
im a-teil muss man die jnf für eine funktion phi bestimmen, was ich hinbekommen habe, doch in teil b soll man die jnf für (phi)^(-1), also für die umkehrfunktion, bestimmen.
ich dachte, dass ich einfach die inverse der jnf von phi nehme, da man ja auch die jnf von [mm] (phi)^2 [/mm] durch quadrieren der jnf von phi erhält, wo man dann nur noch basisvektoren vertauschen muss.
aber ich bekomme etwas anderes heraus als die lösung :(
die frage ist nun, wie denn die jnf der umkehrabbildung mit der ursprünglichen jnf zusammenhängt?
wäre super, wenn mir jemand da weiterhelfen könnte!
lieben gruß,
tes
ps: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. (ist wohl pflicht, das hier zu posten, mag nicht gesperrt werden :) )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:27 Mo 26.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo,
also - ich habe ihm Angebot eine "Determinantenformel für die Inverse Matrix".
Für $A [mm] \in [/mm] M(n [mm] \times n,\IK)$ [/mm] ist [mm] $\tilde{a_{ij}}:=(-1)^{i+j}\det A_{ji}$ [/mm] die zu $A$ komplementäre Matrix [mm] $\tilde{A}$. [/mm] Besitzt $A$ eine nichtverschwindende Determinante, dann ist die Inverse gegeben durch [mm] $A^{-1}:=\frac{1}{\det A} \tilde{A}$.
[/mm]
Für $A [mm] \in [/mm] M(2 [mm] \times 2,\IK)$ [/mm] wäre dann:
$ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \pmat{ d & -b \\ -c & a }$
[/mm]
Vielleicht hilft das weiter.
Beste Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Di 27.07.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Tes,
ich hatte folgende Gedanken zu dieser Aufgabe:
Angenommen, [mm] A [/mm] ist zu [mm] \Phi [/mm] gehörige quadratische Matrix und die Voraussetzungen für die Existenz der JNF J seien gegeben.
Dann existiert ja eine Basistransformationsmatrix T so dass:
[mm] T^{-1}* A * T = J [/mm]
Diese Gleichung können wir nach A "umstellen":
[mm] T * T^{-1}* A * T * T^{-1} = T* J * T^{-1} [/mm]
also [mm] A = T * J * T^{-1} [/mm]
und somit [mm] A^{-1} = (T * J * T^{-1})^{-1} = (T^{-1})^{-1} * J^{-1} * T^{-1} = T * J^{-1} * T^{-1} [/mm]
was wiederum äquivalent ist zu:
[mm] T^{-1} * A^{-1} * T = J^{-1} [/mm]
woraus ich ablese, dass es eine Basistransformationsmatrix gibt, so dass [mm] \Phi [/mm] dargestellt werden kann als [mm] J^{-1}.
[/mm]
Und während ich das schreibe fällt mir auf, dass natürlich nun die große Frage ist, ob [mm] J^{-1} [/mm] wieder einer JNF ist... Wahrscheinlich nicht, aber ich lass' die Überlegung trotzdem erstmal stehen.
Wenn du mit einer konkreten Matrix rechnen musst, wird dir wohl nichts anderes übrig bleiben, als die Inverse zu berechnen und den ganzen Weg noch einmal von vorne zu gehen. Mir fällt jedenfalls auf die Schnelle keine geschickterer Weg ein.
Naja,
Gruß Astrid
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:55 Mi 28.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ist
[mm]J_F = \begin{pmatrix} a_1 E_{n_1} + N_{n_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & a_2 E_{n_2} + N_{n_2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & 0\\ 0 & \ldots & 0 & a_r E_{n_r} + N_{n_r} \end{pmatrix}[/mm]
die Jordansche Normalform von $F$ und $F$ invertierbar, so kann man nachrechnen, dass
[mm]J_{F^{-1}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a_1} E_{n_1} + N_{n_1} & 0 & \ldots & 0 \\
0 & \frac{1}{a_2} E_{n_2} + N_{n_2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & \frac{1}{a_r} E_{n_r} + N_{n_r} \end{pmatrix}[/mm]
die Jordansche Normalform von [mm] $F^{-1}$ [/mm] ist.
Liebe Grüße
Stefan
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