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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:56 So 25.07.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Gegeben sei die Matrix
A= [mm] \pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & -5 }
[/mm]
nun eine jordanbasis bestimmen und eine matrix P finden, so dass [mm] P^{-1}AP [/mm] = J ist |
hi zusammen,
also ich hab mal folgendes gemacht, erstmal die Eigenwerte bestimmt, der
Eigenwert ist x = -3
und das char. Polynom [mm] (x+3)^3
[/mm]
nun berechne ich
[mm] (A+3E)^1 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm] und das in ZSF ist
[mm] \pmat{ 4 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] also wäre ein Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
nun hab ich [mm] (A+3E)^2 [/mm] berechnet und das ergab
[mm] (A+3E)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & 2 \\ 4 & -4 & 2 } [/mm] in ZSF also
[mm] (A+3E)^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] also wäre ein
Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
so nun hätte ich erstmal 2 vektoren, wie bekomme ich den 3ten ? und stimmen die 2 überhaupt ? ich bin echt am verzweifeln an dem zeugs !
vielen dank im voraus
meep
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Hallo meep,
> Gegeben sei die Matrix
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> A= [mm]\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ 2 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & -5 }[/mm]
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> nun eine jordanbasis bestimmen und eine matrix P finden, so
> dass [mm]P^{-1}AP[/mm] = J ist
> hi zusammen,
>
> also ich hab mal folgendes gemacht, erstmal die Eigenwerte
> bestimmt, der
>
> Eigenwert ist x = -3
>
> und das char. Polynom [mm](x+3)^3[/mm]
>
> nun berechne ich
>
> [mm](A+3E)^1[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 2 & -2 }[/mm]
> und das in ZSF ist
> [mm]\pmat{ 4 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm] also
> wäre ein Vektor [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> nun hab ich [mm](A+3E)^2[/mm] berechnet und das ergab
>
> [mm](A+3E)^2[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -2 & 1 \\ 4 & -4 & 2 \\ 4 & -4 & 2 }[/mm]
> in ZSF also
>
> [mm](A+3E)^2[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> also wäre ein
>
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> so nun hätte ich erstmal 2 vektoren, wie bekomme ich den
> 3ten ? und stimmen die 2 überhaupt ? ich bin echt am
Die 2 Vektoren stimmen.
Für den ersten Vektor [mm]e_{1}=\pmat{1 \\ 2 \\ 2}[/mm] gilt:
[mm]\left(A+3*E\right)*e_{1}=\overrightarrow{0}[/mm]
Für den zweiten Vektor [mm]e_{1}=\pmat{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] gilt:
[mm]\left(A+3*E\right)^{2}*e_{2}=\overrightarrow{0}[/mm]
[mm]\left(A+3*E \right)*\left( \ \left(A+3*E\right)*e_{2} \ \right)=\overrightarrow{0}[/mm]
Demnach muß
[mm]\left(A+3*E\right)*e_{2} =e_{1}[/mm]
sein.
Für die Eigenvektoren höhere Stufe gilt das analog,
so daß hier für den 3. Vektor gelten muß:
[mm]\left(A+3*E\right)*e_{3} =e_{2}[/mm]
,wobei [mm]e_{3}[/mm] der gesuchte 3. Vektor ist.
Andererseits ist die Matrix A+3*E nilpotent vom Nilpotenzgrad 3.
Damit ist eine Basis gegeben durch
[mm]\overrightarrow{v}, \ \left(A+3*E\right)*\overrightarrow{v}, \ \left(A+3*E\right)^{2}\overrightarrow{v}[/mm]
wobei [mm]\overrightarrow{v} \in \operatorname{Kern}\left( \ \left(A+3*E\right)^{3} \ \right)[/mm]
und [mm]\overrightarrow{v} \notin \operatorname{Kern}\left( \ \left(A+3*E\right)^{2} \ \right), \ \overrightarrow{v} \notin \operatorname{Kern}\left( A+3*E\right)[/mm]
> verzweifeln an dem zeugs !
>
> vielen dank im voraus
>
> meep
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 So 25.07.2010 | | Autor: | meep |
hi mathepower und danke für die antwort,
also könnte ich als dritten vektor wohl (1,0,0) nehmen oder ?
lg
meep
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Hallo meep,
> hi mathepower und danke für die antwort,
>
> also könnte ich als dritten vektor wohl (1,0,0) nehmen
> oder ?
Ja, dann mußt Du die Basis so bilden, wie ich zuletzt geschrieben habe.
Ansonsten mußt Du einen 3. Vektor suchen, der die Gleichung
[mm]\left(A+3*E\right)*\pmat{\alpha \\ 0 \\ 0}=\pmat{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
erfüllt.
>
> lg
>
> meep
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:23 So 25.07.2010 | | Autor: | meep |
huhu nochmal,
so ich hab dann die 3 vektoren, die die matrix P ist, mit
P = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0.5 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0}
[/mm]
und [mm] P^{-1} [/mm] = 0.5 * [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & -4 & 0}
[/mm]
Wenn ich nun
[mm] P^{-1} [/mm] * A * P bilde bekomme ich am Ende [mm] P^{-1}AP [/mm] = [mm] \pmat{ -3 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \\ 6 & -2 & -3} [/mm] heraus und das kann ich auf Zeilenstufenform bringen und dann bekomme ich die jordan form heraus, aber ich glaube es ist ja nicht sinn der sache danach noch auf zeilenstufenform umzuformen oder ?
also frage ich mal, wo liegt mein fehler ?
lg
meep
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Hallo meep,
> huhu nochmal,
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> so ich hab dann die 3 vektoren, die die matrix P ist, mit
>
> P = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0.5 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0}[/mm]
>
> und [mm]P^{-1}[/mm] = 0.5 * [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 4 & -4 & 0}[/mm]
>
> Wenn ich nun
>
> [mm]P^{-1}[/mm] * A * P bilde bekomme ich am Ende [mm]P^{-1}AP[/mm] = [mm]\pmat{ -3 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1 \\ 6 & -2 & -3}[/mm]
> heraus und das kann ich auf Zeilenstufenform bringen und
> dann bekomme ich die jordan form heraus, aber ich glaube es
> ist ja nicht sinn der sache danach noch auf
> zeilenstufenform umzuformen oder ?
>
> also frage ich mal, wo liegt mein fehler ?
Der Fehler liegt wohl bei der Matrizenmultplikation,
denn P und [mm]P^{-1}[/mm] stimmen.
>
> lg
>
> meep
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 25.07.2010 | | Autor: | meep |
habs nochmal nachrechnen lassen da kommt wirklich so ein mist raus, liegts vllt an der anordnung der vektoren in der matrix ? wenn ich die ändere würde das was ändern ?
lg
meep
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> P = $ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0.5 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0} [/mm] $
> und $ [mm] P^{-1} [/mm] $ = 0.5 * $ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & \red{-1} \\ 4 & -4 & 0} [/mm] $
[mm] $PP^{-1}=\pmat{ \star &\star & 0.5 \\ \star &\star &\star \\ \star &\star &\star \\ }$
[/mm]
Deine Inverse ist also falsch. Ich hab
[mm]P^{-1}= \left( \begin {array}{ccc} 0&0&1/2\\ \noalign{\medskip}0&1&-1
\\ \noalign{\medskip}2&-2&1\end {array} \right)[/mm]
[mm]
P^{-1}AP= \left( \begin {array}{ccc} -3&1&0\\ 0&-3&1
\\ 0&0&-3\end {array} \right)
[/mm]
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