jordansche Normalform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Do 30.06.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | | Zu berechnen ist die Jordanschen Normalform B für [mm] A=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 } [/mm] |
Hallo an alle,
ich habe noch nie die Jordansche Normalform einer Matrix berechnet und würde dies gerne schrittweise mit eurer Hilfe tun.
Ich weiß, dass man die Eigenwerte bestimmen muss und danach die Dimension von [mm] ker(A-x\cdot E_{n})^{j}, [/mm] jedoch weiß ich nicht, wie ich weiter vorzugehen habe.
Soweit bin ich bis jetzt:
Die Eigenwerte sind x=2,3,3.
Dimension zum EW 2:
[mm] ker(A-2\cdot E_{n})=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Da [mm] dim(ker(A-x\cdot E_{n})^{j})=n-r [/mm] ist die Dimension=3-2=1.
Zum EW 3:
[mm] ker(A-3\cdot E_{n})=ker\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 }
[/mm]
dim=3-1=2
[mm] ker(A-3\cdot E_{n})^{2})=ker\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }
[/mm]
dim=3-1=2
Könnte mir jemand in einfachen Worten erklären was nun zu tun ist? 
Vielen Dank im Voraus und viele Grüße, Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Do 30.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zu berechnen ist die Jordanschen Normalform B für [mm]A=\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Hallo an alle,
> ich habe noch nie die Jordansche Normalform einer Matrix
> berechnet und würde dies gerne schrittweise mit eurer
> Hilfe tun.
>
> Ich weiß, dass man die Eigenwerte bestimmen muss und
> danach die Dimension von [mm]ker(A-x\cdot E_{n})^{j},[/mm] jedoch
> weiß ich nicht, wie ich weiter vorzugehen habe.
>
> Soweit bin ich bis jetzt:
>
> Die Eigenwerte sind x=2,3,3.
Hast du das abgelesen oder ausgerechnet? (Ablesen reicht hier voellig, da es sich um eine Dreiecksmatrix handelt.)
> Dimension zum EW 2:
> [mm]ker(A-2\cdot E_{n})=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> Da [mm]dim(ker(A-x\cdot E_{n})^{j})=n-r[/mm] ist die
> Dimension=3-2=1.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Die Dimension haettest du aber auch so hinschreiben koennen :)
> Zum EW 3:
> [mm]ker(A-3\cdot E_{n})=ker\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 }[/mm]
>
> dim=3-1=2
Die Dimension ist ebenfalls nicht sehr verwunderlich.
Und da die schon gleich der alg. Vielfachheit ist, dann brauchst du diese hier gar nicht mehr:
> [mm]ker(A-3\cdot E_{n})^{2})=ker\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 }[/mm]
>
> dim=3-1=2
>
> Könnte mir jemand in einfachen Worten erklären was nun zu
> tun ist?
Die Matrix ist diagonalisierbar (alg. Vielfachheit = geom. Vielfachheit fuer alle Eigenwerte), womit die JNF eine Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Allgemein: wenn du wissen willst, wie man die JNF berechnet, schau dir doch das ![[]](/images/popup.gif) "Kochrezept" an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Fr 01.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
> Die Matrix ist diagonalisierbar (alg. Vielfachheit = geom.
> Vielfachheit fuer alle Eigenwerte), womit die JNF eine
> Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
Somit kann ich dann generell sagen dass die JNF immer eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist, sobald die Matrix diagonalisierbar ist?
Und woher weiß ich in welcher Reihenfolge die Eigenwerte auf der Diagonalen angelegt sind?
Ich würde jetzt sagen, dass [mm] B=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] ist.
Ich möchte trotzdem immernoch vertiefen, wie man eine JNF aufstellt, auch wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist, somit habe ich ein zweites Beispiel gewählt:
Zu finden ist die JNF von [mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 } [/mm]
Die Eigenwerte habe ich berechnet: x=1,3,3.
Zum EW 1:
[mm] ker(A-1\cdot E_{n})\sim\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Somit ist die Dimension=1.
Zum EW 3:
[mm] ker(A-3\cdot E_{n})\sim\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 } [/mm]
Diese Matrix ist ja nicht in Zeilenstufenform, dürfte ich, rein formell, die beiden unteren Zeilen tauschen, damit ich den Rang und somit die Dimension korrekt ablesen kann? Sprich darf ich sagen dass [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 }\sim\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }?
[/mm]
Somit ist die Dimension=1.
[mm] ker(A-3\cdot E_{n})^{2}=\pmat{ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 }\sim\pmat{ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 4 }
[/mm]
Somit ist die Dimension=1.
Und hier komme ich nicht weiter, ich habe schon viele Beispiele gelesen, verstehe den nächsten Schritt jedoch leider nicht. Vielleicht kann das jemand gut in eignen Worten erklären? Ich weiß zumindest, dass nichtmehr viel fehlt
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus, Paula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die Matrix ist diagonalisierbar (alg. Vielfachheit = geom.
> > Vielfachheit fuer alle Eigenwerte), womit die JNF eine
> > Diagonalmatrix ist mit den Eigenwerten auf der Diagonalen.
>
> Somit kann ich dann generell sagen dass die JNF immer eine
> Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist,
> sobald die Matrix diagonalisierbar ist?
Genau.
> Und woher weiß ich in welcher Reihenfolge die Eigenwerte
> auf der Diagonalen angelegt sind?
Die Reihenfolge ist egal. Du kannst die Eigenwerte beliebig anordnen.
> Ich würde jetzt sagen, dass [mm]B=\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
> ist.
>
> Ich möchte trotzdem immernoch vertiefen, wie man eine JNF
> aufstellt, auch wenn die Matrix nicht diagonalisierbar ist,
> somit habe ich ein zweites Beispiel gewählt:
>
> Zu finden ist die JNF von [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 }[/mm]
> Die Eigenwerte habe ich berechnet: x=1,3,3.
Hier hast du dich verrechnet: die alg. Vielfachheit von 1 ist 2, und die von 3 ist 1. Die Eigenwerte sind also 1, 1, 3.
>
> Zum EW 1:
> [mm]ker(A-1\cdot E_{n})\sim\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
So darfst du das nicht aufschreiben. Es gilt zwar [mm] $(A-1\cdot E_{n})\sim\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$, [/mm] aber [mm] $\ker (A-1\cdot E_{n}) [/mm] = [mm] \ker \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }$.
[/mm]
> Somit ist die Dimension=1.
Hier musst du jetzt das Quadrat ausrechnen und davon den Kern...
> Zum EW 3:
> [mm]ker(A-3\cdot E_{n})\sim\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 }[/mm]
> Diese Matrix ist ja nicht in Zeilenstufenform, dürfte ich,
> rein formell, die beiden unteren Zeilen tauschen, damit ich
> den Rang und somit die Dimension korrekt ablesen kann?
Klar. Du darfst die Matrix mit Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen. Und zu den Zeilenumformungen gehoert auch das Vertauschen von Zeilen.
> Sprich darf ich sagen dass [mm]\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -2 }\sim\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }?[/mm]
>
> Somit ist die Dimension=1.
> [mm]ker(A-3\cdot E_{n})^{2}=\pmat{ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ -4 & 0 & 4 }\sim\pmat{ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 4 }[/mm]
Das stimmt auch, und dass die Dimension 1 ist ist auch kein Wunder, da die Dimension nie groesser als die alg. Vielfachheit vom Eigenwert werden kann -- und die ist hier 1.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:59 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
ein Tipp: du kannst dir das ganze auch online nachrechnen lassen: hier z.B.
Dort siehst du die JNF der Matrix sowie die Transformationsmatrix (und ihr Inverses).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Fr 01.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Oh Mist, da bin ichwohl etwas durcheinander gekommen, hier nochmal die korrekten Lösungen:
Also die Eigenwerte sind x=1,1,3
Zum EW 1:
[mm] dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=1
[/mm]
[mm] ker(A-1\cdot E_{n})^{2}=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Somit ist die [mm] dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})=1.
[/mm]
Zum EW 3:
[mm] dim(ker(A-3\cdot E_{n}))=1
[/mm]
So, jetzt habe ich jedoch immernoch die Frage: Wie gehts weiter?
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> Oh Mist, da bin ichwohl etwas durcheinander gekommen, hier
> nochmal die korrekten Lösungen:
>
> Also die Eigenwerte sind x=1,1,3
>
> Zum EW 1:
> [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=1[/mm]
> [mm]ker(A-1\cdot E_{n})^{2}=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
2 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Somit ist die [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})=1.[/mm]
>
> Zum EW 3:
> [mm]dim(ker(A-3\cdot E_{n}))=1[/mm]
>
> So, jetzt habe ich jedoch immernoch die Frage: Wie gehts
> weiter?
Hallo,
dies ist leicht zu beantworten: mit dem Studium Deiner Mitschrift/des Skriptes/der Literatur...
Felix hatte Dir doch auch das hübsche JNF-Kochrezept verlinkt. Wie weit bist Du damit gekommen? Wo genau liegt Dein Problem im Moment?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Fr 01.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Ich habe leider nichts Passendes aus unserem Skript gefunden, was mir weiter hilft. In dem Kochrezept verstehe ich die restlichen Schritte nach der Berechnung der Dimensionen leider nicht genau.
Folgendes hatte ich ja bereits berechnet:
Zum EW 1:
[mm] dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=1 [/mm]
[mm] dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})=1
[/mm]
Zum EW 3:
[mm] dim(ker(A-3\cdot E_{n}))=1 [/mm]
Ich habe ein bisschen im Internet rumgelesen und bin auf den nächsten Schritt gestoßen (glaube ich), nämlich dass ich die Anzahl der Jordanblöcke zum jeweiligen Eigenwert mit [mm] dim(ker(A-x\cdot E_{n})^{j})-dim(ker(A-x\cdot E_{n})^{j-1}) [/mm] berechne, stimmt das?
Dann würde ich Folgendes rausbekommen:
Zum EW 1:
[mm] dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})-dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=0
[/mm]
[mm] dim(ker(A-1\cdot E_{n}))-0=1
[/mm]
Zum EW 3:
[mm] dim(ker(A-3\cdot E_{n}))-0=1
[/mm]
Somit gäbe es zu jedem Eigenwert einen Jordanblock.
Allgemein weiß ich trotzdem nicht wie diese Jordanblöcke dann aussehen und wie sie angeordnet sind, so dass ich daraus eine JNF bilden kann.
Könnte mir das bitte nochmal jemand erklären? Wie die JNF im Endeffekt gebildet wird ist mir leider nicht klar.
Viele Grüße, Paula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Fr 01.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Mir ist gerade aufgefallen dass ich die eine Matrix falsch berechnet habe, somit können die Dimensionen nicht stimmen.
Ich hätte trotzdem gerne eine Antwort bzgl. meines weiteren Weges und ob meine Vermutung zur Berechnung der Anzahl der Jordanblöcke stimmt ;)
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> Ich habe leider nichts Passendes aus unserem Skript
> gefunden, was mir weiter hilft. In dem Kochrezept verstehe
> ich die restlichen Schritte nach der Berechnung der
> Dimensionen leider nicht genau.
Hallo,
Du brauchst die anderen Schritte gar nicht.
>
> Folgendes hatte ich ja bereits berechnet:
>
> Zum EW 1:
> [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=1[/mm]
> [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})=1[/mm]
Beachte Felix' Post: es ist [mm] dim(kern(A-E)^2)=2.
[/mm]
>
> Zum EW 3:
> [mm]dim(ker(A-3\cdot E_{n}))=1[/mm]
Du hattest ja, daß 1 ein doppelter und 3 ein einfacher EW ist.
Daher kennst Du schon die Hauptdiagonale der JNF:
[mm]J=\pmat{1&...&...\\
0&1&...\\
0&0&3}[/mm]
Im Kochrezept steht dazu:"algebraische Vielfachheit des Eigenwertes=Länge des zugehörigen Jordanblocks."
Nun muß man herausfinden, wie die Jordanblöcke zum jeweiligen Eigenwert gemacht sind, aus welchen Kästchen sie sich zusammensetzen.
Wenn Du weißt, wie die JNFen aussehen (dieses Wissen MUSST Du Dir aneignen), dann ist Dir klar, daß überhaupt nur die Matrizen
[mm] J_1:=\pmat{1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&3} [/mm] und [mm] J_2:=\pmat{1&1&0\\
0&1&0\\
0&0&3} [/mm] zur Debatte stehen.
Bei [mm] J_1 [/mm] gehören zum Eigenwert 1 zwei Jordankästchen der Länge 1,
bei [mm] J_2 [/mm] ein Jordankästchen der Länge 2.
Als nächstes steht dort sinngemaß: "Dimension des Eigenraumes zum gerade betrachteten Eigenwert=Anzahl der Kästchen im zugehörigen Block."
Weiter braucht man gar nicht zu schauen.
Mit diesem Wissen kannst Du entscheiden, welche JNF die richtige ist.
>
> Ich habe ein bisschen im Internet rumgelesen und bin auf
> den nächsten Schritt gestoßen (glaube ich), nämlich dass
> ich die Anzahl der Jordanblöcke zum jeweiligen Eigenwert
> mit [mm]dim(ker(A-x\cdot E_{n})^{j})-dim(ker(A-x\cdot E_{n})^{j-1})[/mm]
> berechne, stimmt das?
Ich weiß ja gar nicht, was j sein soll...
Aber zum richtigen Ergebnis kommst Du: zu jedem EW nur ein Kästchen.
> Dann würde ich Folgendes rausbekommen:
>
> Zum EW 1:
> [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})-dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=0[/mm]
>
> [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n}))-0=1[/mm]
>
> Zum EW 3:
> [mm]dim(ker(A-3\cdot E_{n}))-0=1[/mm]
>
> Somit gäbe es zu jedem Eigenwert einen Jordanblock.
>
> Allgemein weiß ich trotzdem nicht wie diese Jordanblöcke
> dann aussehen und wie sie angeordnet sind, so dass ich
> daraus eine JNF bilden kann.
S.o.
Hinweise: auf der Hauptdiagonalen stehen sortiert die Eigenwerte in ihrer jeweiligen algebraischen Vielfachheit.
Die Blöcke zu jeweiligen Eigenwert bestehen aus Kästchen, welche für den EW 5 so aussehen können:
(5), [mm] \pmat{5&1\\0&5}, \pmat{5&1&0\\0&5&1\\0&0&5}, \pmat{5&1&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5}, [/mm] ...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Sa 02.07.2011 | | Autor: | paula_88 |
Alles klar, vielen Dank, jetzt habe ich es denke ich verstanden.
Somit ist die JNF, die ich gesucht habe [mm] B=\pmat{1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3}.
[/mm]
Aber wie ist es z.B. wenn ein Eigenwert die algebraische Vielfachheit 5 hat und die Dimension des Eigenraumes 2 ist. Dann besteht die JNF ja aus 2 Jordanblöcken, woher weiß ich ob ein Jordanblock die Länge 2 hat und der andere die Länge 3 oder der eine die Länge 1 und der andere die Länge 4?
Versteht ihr meine Frage?
Viele Grüße, Paula
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Sa 02.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Paula!
> Alles klar, vielen Dank, jetzt habe ich es denke ich
> verstanden.
> Somit ist die JNF, die ich gesucht habe [mm]B=\pmat{1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&3}.[/mm]
>
> Aber wie ist es z.B. wenn ein Eigenwert die algebraische
> Vielfachheit 5 hat und die Dimension des Eigenraumes 2 ist.
> Dann besteht die JNF ja aus 2 Jordanblöcken, woher weiß
> ich ob ein Jordanblock die Länge 2 hat und der andere die
> Länge 3 oder der eine die Länge 1 und der andere die
> Länge 4?
> Versteht ihr meine Frage?
Ja, die Frage verstehe ich :)
In dem Fall musst du dir [mm] $\dim \ker [/mm] (A - [mm] \lambda E_n)^2 [/mm] - [mm] \dim \ker [/mm] (A - [mm] \lambda E_n)$ [/mm] anschauen. Die Dimension gibt dir die Anzahl der Jordankaestchen von $A$ zum Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] die Groesse [mm] $\ge [/mm] 2$ haben.
Allgemein gibt dir die Differenz [mm] $\dim \ker [/mm] (A - [mm] \lambda E_n)^i [/mm] - [mm] \dim \ker [/mm] (A - [mm] \lambda E_n)^{i-1}$ [/mm] fuer $i [mm] \ge [/mm] 1$ die Anzahl der Jordankaestchen zum Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] die Groesse [mm] $\ge [/mm] i$ haben.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 01.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh Mist, da bin ichwohl etwas durcheinander gekommen, hier
> nochmal die korrekten Lösungen:
>
> Also die Eigenwerte sind x=1,1,3
>
> Zum EW 1:
> [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n}))=1[/mm]
> [mm]ker(A-1\cdot E_{n})^{2}=ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Somit ist die [mm]dim(ker(A-1\cdot E_{n})^{2})=1.[/mm]
Das kann nicht stimmen, da [mm] $\dim\ker(A [/mm] - 1 [mm] E_n)^2 [/mm] = 2$ sein muss.
Laut Maple hast du die Matrix $(A - 1 [mm] E_n)^2$ [/mm] falsch ausgerechnet; die Matrix sieht sehr einfach aus und enthaelt nur die Eintraege 0 und 2.
LG Felix
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