kanon. Homom. - irreduzibel < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Di 02.01.2007 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Sei P [mm] \in \IZ[X] [/mm] ein Polynom mit höchstem Koeffizienten 1 und [mm] \overline{P} [/mm] das Bild von P unter dem kanonischen Homomorphismus [mm] \IZ[X] \to \IZ/(p)[X], [/mm] wobei p [mm] \in \IZ [/mm] eine Primzahl ist.
(i) Zeige: ist [mm] \overline{P} \in \IZ/(p)[X] [/mm] irreduzibel, so auch P [mm] \in \IZ[X] [/mm] .
(ii) Wende dieses Kriterium an um zu zeigen, dass die folgenden Polynome aus [mm] \IZ[X] [/mm] irreduzibel sind:
(a) [mm] X^{2} [/mm] + 12577X + 1
(b) [mm] X^{3} [/mm] + [mm] 729X^{2} [/mm] + 11X +343. |
Hallo Forum!
Ich habe beim Lösen dieser Aufgabe Probleme.
Ich hoffe, ihr könnt mir hier weiterhelfen.
(i) hier weiß ich doch, dass [mm] \overline{P} [/mm] irreduzibel ist, d.h. doch, dass P mit P=ab gilt, wobei a [mm] \in (\IZ/(p)[X])^{\times} [/mm] und b [mm] \in (\IZ/(p)[X])^{\times}.
[/mm]
Aber wie zeige ich, dass daraus folgt, dass auch P irreduzibel ist?
und wie kann ich das dann ausnützen um zu zeigen, dass die angegeben polynome irreduzibel sind?
ich hoffe, ihr könnt mir einen tipp geben. vielen dank!
VHN
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 Mi 03.01.2007 | | Autor: | moudi |
> Sei P [mm]\in \IZ[X][/mm] ein Polynom mit höchstem Koeffizienten 1
> und [mm]\overline{P}[/mm] das Bild von P unter dem kanonischen
> Homomorphismus [mm]\IZ[X] \to \IZ/(p)[X],[/mm] wobei p [mm]\in \IZ[/mm] eine
> Primzahl ist.
> (i) Zeige: ist [mm]\overline{P} \in \IZ/(p)[X][/mm] irreduzibel, so
> auch P [mm]\in \IZ[X][/mm] .
> (ii) Wende dieses Kriterium an um zu zeigen, dass die
> folgenden Polynome aus [mm]\IZ[X][/mm] irreduzibel sind:
> (a) [mm]X^{2}[/mm] + 12577X + 1
> (b) [mm]X^{3}[/mm] + [mm]729X^{2}[/mm] + 11X +343.
> Hallo Forum!
>
> Ich habe beim Lösen dieser Aufgabe Probleme.
> Ich hoffe, ihr könnt mir hier weiterhelfen.
>
> (i) hier weiß ich doch, dass [mm]\overline{P}[/mm] irreduzibel ist,
> d.h. doch, dass P mit P=ab gilt, wobei a [mm]\in (\IZ/(p)[X])^{\times}[/mm]
> und b [mm]\in (\IZ/(p)[X])^{\times}.[/mm]
> Aber wie zeige ich, dass
> daraus folgt, dass auch P irreduzibel ist?
Hallo VHN
Ist doch ganz einfach. Wenn das normierte Polynom in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] reduzibel ist, dann lässt es sich faktorisieren als Produkt zweier Polynome, die notwendigerweise auch wieder normiert sind. Die Normierung garantiert, dass unter dem kanonischen Homomorphismus kein Polynom "verschwindet". Deshalb ist [mm] $\bar [/mm] P$ in [mm] $\IZ/(p)[x]$ [/mm] reduzibel.
Die Kontraposition davon ist die zu beweisende Behauptung.
> und wie kann ich das dann ausnützen um zu zeigen, dass die
> angegeben polynome irreduzibel sind?
Ich denke für (a) wählt man p=2. Dann erhält man das Polynom [mm] $\bar P=X^2+X+1$. [/mm] Das ist modulo 2 irreduzibel genau dann, wenn es keine Nullstelle modulo 2 besitzt. Als Nullstellen kommen nur 0,1 in Frage!
Für (b) wählt man p=3. Dann erhält man das Polynom [mm] $\bar P=X^3+2X+1$. [/mm] Das ist modulo 3 irreduzibel genau dann, wenn es keine Nullstelle modulo 3 besitzt. Als Nullstellen kommen nur 0,1,2 in Frage!
mfG Moudi
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> ich hoffe, ihr könnt mir einen tipp geben. vielen dank!
>
> VHN
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Mi 03.01.2007 | | Autor: | VHN |
Hallo moudi!
vielen dank für deine antwort!
allerdings hätte ich da noch ein paar rückfragen.
"Die Normierung garantiert, dass unter dem kanonischen Homomorphismus kein Polynom "verschwindet"." was meinst du damit? und wieso ist [mm] \overline{P} \in \IZ/(p)[X] [/mm] deswegen dann reduzibel?
Deine Antwort war doch der beweis für die aussage "ist P [mm] \in \IZ[X] [/mm] reduzibel, so ist [mm] \overline{P} \in \IZ/(p)[X] [/mm] reduzibel". Stimmt das?
kann ich dann einfach sagen, dass die negation der aussage damit auch gilt?
bei der (b) verstehe ich nicht, wohin der [mm] x^{2} [/mm] Term von [mm] \overline{P} [/mm] verschwunden ist.
vielen dank für deine hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:30 Mi 03.01.2007 | | Autor: | moudi |
> Hallo moudi!
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> vielen dank für deine antwort!
> allerdings hätte ich da noch ein paar rückfragen.
>
> "Die Normierung garantiert, dass unter dem kanonischen
> Homomorphismus kein Polynom "verschwindet"." was meinst du
> damit? und wieso ist [mm]\overline{P} \in \IZ/(p)[X][/mm] deswegen
> dann reduzibel?
Gilt in [mm] $\IZ[x]$ [/mm] die Gleichung $p(x)=q(x)r(x)$, so gilt natürlich in [mm] $\IZ/(p)[x]$ [/mm] die Gleichung [mm] $\bar p(x)=\bar [/mm] q(x) [mm] \bar [/mm] r(x)$.
Ist [mm] $p(x)=3x^2+1$, [/mm] so ist [mm] $\bar [/mm] p(x)=1$ in [mm] $\IZ/(3)[x]$, [/mm] da 3=0 modulo 3 und daher ist [mm] $\bar [/mm] p(x)$ ein Polynom vom Grade 0 (sozusagen "verschwunden").
>
> Deine Antwort war doch der beweis für die aussage "ist P
> [mm]\in \IZ[X][/mm] reduzibel, so ist [mm]\overline{P} \in \IZ/(p)[X][/mm]
> reduzibel". Stimmt das?
> kann ich dann einfach sagen, dass die negation der aussage
> damit auch gilt?
Nicht Negation, sondern Kontraposition!
Aus [mm] $A\implies [/mm] B$ folgt [mm] $\neg B\implies \neg [/mm] A$.
>
> bei der (b) verstehe ich nicht, wohin der [mm]x^{2}[/mm] Term von
> [mm]\overline{P}[/mm] verschwunden ist.
729=0 modulo 3
mfg Moudi
>
> vielen dank für deine hilfe!
>
> VHN
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Do 04.01.2007 | | Autor: | VHN |
Hallo moudi!
nochmals danke für deine antwort.
tut mir leid, wenn ich so auf dem schlauch stehe, aber ich hätte da noch ein paar fragen.
wieso ist [mm] \overline{P} [/mm] in [mm] \IZ/(p)[X] [/mm] reduzibel, wenn alles erhalten bleibt und nichts verschwindet?
Wegen der Normierung ist doch der Leitkoeffizient 1 (keine Primzahl), daher fällt doch das vorderste glied nie weg. stimmt das so?
Aber was ist mit den mittleren gliedern? können die wegfallen?
die koeffizienten der mittleren glieder sind doch nicht immer 1, oder?
vielen vielen dank für deine hilfe!
VHN
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:36 Fr 05.01.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo VHN
Ja die mittleren Glieder können schon wegfallen, aber wenn der Leitkoeffizient 1 ist, dann hat [mm] $\bar [/mm] p(x)$ einen Grad grösser oder gleich 1 und ist somit ein echtes Polynom, d.h. keine Einheit in [mm] $\IZ/(p)[x]$.
[/mm]
mfG Moudi
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