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| Aufgabe | | Ist [mm] \IQ(\wurzel[n]{3}) [/mm] über [mm] \IQ [/mm] eine Galoiserweiterung für n > 2 ? |
Huhu zusammen!
Also separabel ist die Körpererweiterung auf jeden Fall. Das folgt unter Anderem aus der [mm] char(\IQ) [/mm] = 0.
Ich denke nicht, dass sie normal ist ( was für Galois fehlt), da wir wissen, dass
f(x) = [mm] x^n [/mm] - 3 Minimalpolynom ist (irreduzibel, Grad n)
Dieses zerfällt in [mm] \IQ(\wurzel[n]{3}) [/mm] zu (x- [mm] \wurzel[n]{3}) [/mm] * g(x) mit Grad (g(x)) = n-1
Eine Bedingung für Normalität ist, dass [mm] \IQ(\wurzel[n]{3}) [/mm] Zerfällungskörper für ein f Polynom in [mm] \IQ[X] [/mm] .
Es reicht wahrscheinlich aus, einen einzigen Index n zu finden, der dies wiederlegt.
Nehmen wir also n = 4
Dann ist f(x) = [mm] x^4 [/mm] - 3. Dies zerfällt dann in [mm] \IQ(\wurzel[4]{3}) [/mm] zu (x- [mm] \wurzel[4]{3}) [/mm] * g(x) mit Grad (g(x)) = 2
naja, allerdings ist auch die komplexe Zahl [mm] \wurzel[4]{3} [/mm] * i eine Nullstelle für f, da diese allerdings nicht in [mm] \IQ(\wurzel[4]{3}) [/mm] liegt, zerfällt das Polynom nicht in Linearfaktoren.
Nun eine blöde Frage:
Für Normalität bräuchte ich einen Zerfällungskörper für EIN Polynom f, sodass die Körpererweiterung durch die Adjunktion der Nullstellen entsteht und dass über dieser körpererweiterung f vollständig zerfällt.
Dies ist hier nicht gegeben. Wieso reicht es aber aus, nur das Minimalpolynom zu betrachten? Es reicht ja an sich überhaupt ein solches f zu finden. Wieso kann es keine weitere funktion geben , die man untersuchen müsste?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Do 12.02.2015 | | Autor: | hippias |
> Ist [mm]\IQ(\wurzel[n]{3})[/mm] über [mm]\IQ[/mm] eine Galoiserweiterung
> für n > 2 ?
> Huhu zusammen!
>
> Also separabel ist die Körpererweiterung auf jeden Fall.
> Das folgt unter Anderem aus der [mm]char(\IQ)[/mm] = 0.
Ja.
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> Ich denke nicht, dass sie normal ist ( was für Galois
> fehlt), da wir wissen, dass
> f(x) = [mm]x^n[/mm] - 3 Minimalpolynom ist (irreduzibel, Grad n)
>
> Dieses zerfällt in [mm]\IQ(\wurzel[n]{3})[/mm] zu (x-
> [mm]\wurzel[n]{3})[/mm] * g(x) mit Grad (g(x)) = n-1
>
> Eine Bedingung für Normalität ist, dass
> [mm]\IQ(\wurzel[n]{3})[/mm] Zerfällungskörper für ein f Polynom
> in [mm]\IQ[X][/mm] .
>
>
> Es reicht wahrscheinlich aus, einen einzigen Index n zu
> finden, der dies wiederlegt.
Wahrscheinlich? Mache Dir unbedingt klar, dass es nicht wahrscheinlich ausreicht, sondern ausreichend ist.
>
> Nehmen wir also n = 4
Gute Wahl.
>
> Dann ist f(x) = [mm]x^4[/mm] - 3. Dies zerfällt dann in
> [mm]\IQ(\wurzel[4]{3})[/mm] zu (x- [mm]\wurzel[4]{3})[/mm] * g(x) mit Grad
> (g(x)) = 2
>
> naja, allerdings ist auch die komplexe Zahl [mm]\wurzel[4]{3}[/mm] *
> i eine Nullstelle für f, da diese allerdings nicht in
> [mm]\IQ(\wurzel[4]{3})[/mm] liegt, zerfällt das Polynom nicht in
> Linearfaktoren.
Ja. All Dein Gerede ueber $g$ ist damit ueberfluessig.
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> Nun eine blöde Frage:
>
> Für Normalität bräuchte ich einen Zerfällungskörper
> für EIN Polynom f, sodass die Körpererweiterung durch die
> Adjunktion der Nullstellen entsteht und dass über dieser
> körpererweiterung f vollständig zerfällt.
>
> Dies ist hier nicht gegeben. Wieso reicht es aber aus, nur
> das Minimalpolynom zu betrachten? Es reicht ja an sich
> überhaupt ein solches f zu finden. Wieso kann es keine
> weitere funktion geben , die man untersuchen müsste?
Eine berechtigte Frage. Aber eine, die ihr in Vorlesung/Uebung geklaert haben duerftet. Sonst versuche es einmal selbst zu beweisen; es ist nicht so schwierig, wenn Du Dir das noetige Ruestzeug verschafft hast.
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