kern f, aufsteigende kette < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mi 14.06.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hallo,
ich hab letztes mal bei uns im skript gesehen, dass folgender zusammenhang gilt:
Sei [mm] f\in End_K(V), [/mm] dann gilt folgendes:
Kern(f) [mm] \subseteq Kern(f^2) \subseteq Kern(f^3) \subseteq [/mm] ..... [mm] \subset [/mm] V
danke schonmal im voraus :)
Gruß Ari
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Hallo AriR,
warum wird denn der letzte Buchstabe ''R'' wieder gross geschrieben ?
Mmh, na ja, also zur Aufgabe kann ich Dir folgendes schreiben:
Wenn ein Vektor v unter f schon auf die 0 (also das soll ja der Null-Vektor in V sein)
abgebildet wird, so wird doch dann diese 0 unter f wieder auf die 0 abgebildet,
also das heisst dann ja:
f(v)=0 impliziert f(f(v))=0
Und so geht das dann entsprechend weiter.
Viele Grüsse,
just-math
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 14.06.2006 | | Autor: | AriR |
jo das habe ich wohl noch verstanden, aber ist dann zB der [mm] kern(f^2)=kern(f) [/mm] usw.
also ist das nicht für alle potenzen von f immer die selbe menge? warum kommen dann mehr elemente hinzu? also warum ist [mm] kern(f^2) [/mm] eine obermenge von kern(f)??
danke und gruß
Ari :)
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Hallo AriR,
nimm doch folgendes Beispiel: V habe die Basis [mm] e_1,\ldots e_n, [/mm] und [mm] f(e_i)=e_{i+1}, i\leq [/mm] n-1, und [mm] f(e_n)=0.
[/mm]
Dann rechne mal Kern(f) und [mm] Kern(f^2) [/mm] aus.
Viele Grüsse
just-math
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 16.06.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen dank schonmal
wir haben weiterhin noch gesagt, dass es [mm] n_0\in\IN [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n\ge n_0 [/mm] gilt: [mm] Kern(f^n) [/mm] = [mm] Kern(f^n_0), [/mm] weil [mm] f:V\toV [/mm] und V endlich dimensional ist.
kannst du mit das vielleicht auch noch mal bitte kurz erklären, wäre echt nett von dir :)
Danke und gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Sa 17.06.2006 | | Autor: | choosy |
> jo vielen dank schonmal
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> wir haben weiterhin noch gesagt, dass es [mm]n_0\in\IN[/mm] gibt, so
> dass für alle [mm]n\ge n_0[/mm] gilt: [mm]Kern(f^n)[/mm] = [mm]Kern(f^n_0),[/mm] weil
> [mm]f:V\toV[/mm] und V endlich dimensional ist.
>
> kannst du mit das vielleicht auch noch mal bitte kurz
> erklären, wäre echt nett von dir :)
>
Na es ist doch
[mm] $Ker(f^k)\subset [/mm] V$ und [mm] $Ker(f^k)$ [/mm] ist Untervektorraum, k=1,2,...
spätestens für k=n ist aber schluss mit der aufsteigenden Folge, da dann entweder [mm] $Ker(f^n)=V$ [/mm] oder aber die Folge der Kerne ist stationär geworden:
gilt nämlich für ein k: [mm] $Ker(f^k)=ker(f^{k+1}$, [/mm] so folgt [mm] $Ker(f^k)=ker(f^{k+m}$ [/mm] für alle [mm] $m\in\IN$,
[/mm]
sprich wenn die Folge in einem schritt nicht mehr wächste, dann wächst sie ab da niemals weiter. Spätestens wenn der kern gleich V ist, wächst die folge nicht weiter...
> Danke und gruß
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