kgV und ggT < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Di 11.04.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe 1 | Sei k ein Körper und k[x] der Polynomring. Seien P,Q,R [mm] \in [/mm] k[X]
Sei P = (P,Q)P' und Q = (P,Q)Q'. Zeige dann ist (P,Q)P'Q' bis auf Normierung das kgV, geschrieben [P,Q] von P und Q
|
| Aufgabe 2 | | Drücke (P,Q) und [P,Q] mit Hilfe der Primfaktorzerlegung von P und Q aus. |
Hallo lieber Forumsuser!
Die obrigen beiden Aufgaben stellen mich vor ein kleines Hindernis! Ich habe schon versucht über die eindeutige Darstellung in Primfaktoren von Polynomen diese zu lösen. Komm aber nicht den entscheidenen Schritt weiter.
Wenn ich bei der ersten Aufgabe einfach umforme: [mm] \bruch{P}{P'} [/mm] = (P,Q) =) [mm] \bruch{Q}{Q'} [/mm] und das dann so ausmultipliziere bis (P,Q)P'Q' dann dasteht, ist wohl zu billig und wohl auch nicht SInn der AUfgabe, oder? (P,Q) ist ja der ggT. Hab auch versucht zu argumentieren, dass ein Polynom P ein anderes Polynom Q teilt wenn deg(P) [mm] \le [/mm] deg(Q) ist, aber wie gesagt, ich komm nicht auf den entscheidenen Schritt.
Über Denkanstöße wäre ich sehr dankbar.
LG
Gerd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:07 Di 11.04.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Gerd!
> Sei k ein Körper und k[x] der Polynomring. Seien P,Q,R [mm]\in[/mm]
> k[X]
>
> Sei P = (P,Q)P' und Q = (P,Q)Q'. Zeige dann ist (P,Q)P'Q'
> bis auf Normierung das kgV, geschrieben [P,Q] von P und Q
>
> Drücke (P,Q) und [P,Q] mit Hilfe der Primfaktorzerlegung
> von P und Q aus.
> Hallo lieber Forumsuser!
> Die obrigen beiden Aufgaben stellen mich vor ein kleines
> Hindernis! Ich habe schon versucht über die eindeutige
> Darstellung in Primfaktoren von Polynomen diese zu lösen.
> Komm aber nicht den entscheidenen Schritt weiter.
Erinner dich mal an die Schule zurueck. Dort hast du sicher auch gelernt, wie man den groessten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei ganzen Zahlen mittels Primfaktorzerlegung ausrechnet. Bei Polynomen gehts genauso.
> Wenn ich bei der ersten Aufgabe einfach umforme:
> [mm]\bruch{P}{P'}[/mm] = (P,Q) =) [mm]\bruch{Q}{Q'}[/mm] und das dann so
> ausmultipliziere bis (P,Q)P'Q' dann dasteht, ist wohl zu
> billig und wohl auch nicht SInn der AUfgabe, oder?
Da steht sicher $(P,Q)P'Q' = irgendwas$. Aber das ist schon nicht das was gesucht ist, da hast du Recht.
> (P,Q)
> ist ja der ggT. Hab auch versucht zu argumentieren, dass
> ein Polynom P ein anderes Polynom Q teilt wenn deg(P) [mm]\le[/mm]
> deg(Q) ist, aber wie gesagt, ich komm nicht auf den
> entscheidenen Schritt.
> Über Denkanstöße wäre ich sehr dankbar.
Schau dir mal die Definition von kleinstes gemeinsames Vielfaches an: Das Polynom $K$ ist genau dann das kleinste gemeinsame Vielfache von $P$ und $Q$, wenn gilt $P [mm] \mid [/mm] K$, $Q [mm] \mid [/mm] K$ und wenn $K'$ ein Polynom mit $P [mm] \mid [/mm] K'$, $Q [mm] \mid [/mm] K'$ ist, so muss bereits $K [mm] \mid [/mm] K'$ gelten.
Versuch das mal mit dem Polynom $K = (P, Q) P' Q'$ nachzurechnen. Also zeige $P [mm] \mid [/mm] K$, $Q [mm] \mid [/mm] K$, und dann nimm an, dass $P [mm] \mid [/mm] K'$, $Q [mm] \mid [/mm] K'$ gilt und zeig $K [mm] \mid [/mm] K'$.
Dazu brauchst du eventuell, dass $P'$ und $Q'$ teilerfremd sind, und das wenn $P' [mm] \mid [/mm] (R Q')$ bzw. $Q' [mm] \mid [/mm] (R P')$, dass dann daraus folgt $P' [mm] \mid [/mm] R$ bzw. $Q' [mm] \mid [/mm] R$.
LG Felix
|
|
|
|
