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| Aufgabe | zeigen Sie, dass die Klasseneinteilung [mm] \IN_0 \times \IN_0 /\sim [/mm] durch
[(n,m)] [mm] \oplus [/mm] [(n´,m´)] := [(n+n´, m+m´)] zu einer Gruppe wird. |
Hallo,
wir wurden darauf hingewiesen, hier besonders die Wohldefiniertheit zu zeigen.
Aber es ist doch klar, dass wenn n und n´ in [mm] \IN [/mm] liegen, auch n + n´ in [mm] \IN [/mm] liegt.
oder muss ich hier was ganz anderes zeigen? ich weiß auch nicht so richtig, was eine Klasseneinteilung ist.
Gruß
Ninchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Falls das eine Teilaufgabe einer größeren Aufgabe ist, poste mal die komplette Aufgabe.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Ninchen01 |
Es gab davor noch a)
Zeigen Sie, dass (n,m)~ (n´,m´):<--> n+m´=m+n´
auf [mm] \IN0 \times \IN0 [/mm] eine Äquivalenzrelation definiert. Bestimmen Sie die Äquivalenzklassen [(n,n)], [(n+1,n)] und [n,n+1)] und geben Sie ein "möglich einfaches Element" in [(n,n)]an.
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> zeigen Sie, dass die Klasseneinteilung [mm]\IN_0 \times \IN_0 /\sim[/mm]
> durch
> [(n,m)] [mm]\oplus[/mm] [(n´,m´)] := [(n+n´, m+m´)] zu einer Gruppe
> wird.
> Hallo,
>
> wir wurden darauf hingewiesen, hier besonders die
> Wohldefiniertheit zu zeigen.
> Aber es ist doch klar, dass wenn n und n´ in [mm]\IN[/mm] liegen,
> auch n + n´ in [mm]\IN[/mm] liegt.
Hallo,
der casus knacktus sind die Äquivalenzklassen.
Es könnte ja sein, daß [(n,m)] =[(a,b)] und [(n´,m´)]=[a',b'].
Du mußt nun sicherstellen, also zeigen, daß bei [(n,m)] [mm]\oplus[/mm] [(n´,m´)] dasselbe Ergebnis herauskommt wie bei [(a,b)] [mm]\oplus[/mm] [(a´,b´)], sonst wäre das ja schlimm.
Hierfür wirst Du sicher die auch Def. Eurer Äquivalenzrelation benötigen.
Fang mal an.
> oder muss ich hier was ganz anderes zeigen? ich weiß auch
> nicht so richtig, was eine Klasseneinteilung ist.
Ihr hattet eine Äquivalenzrelation, und Ihr betrachtet hier nun die Menge der Äquivalenzklassen.
Auf dieser Menge von Äquivalenzklassen (also einer Menge von Mengen) wird die Verknüpfung [mm] \oplus [/mm] definiert.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 So 16.11.2008 | | Autor: | herben |
Hallo, ich interessier auch für die Aufgabe aber versteh auch nicht so ganz wie das geht.
Also ich nehme mir 2 Repräsentanten raus und schau, ob da das gleiche rauskommt.
[(n,m)] [mm] \oplus [/mm] [(n',m')] [mm] \gdw [/mm] n+m' = m+n' [mm] \gdw [/mm] n=m+n'-m'
[mm] \Rightarrow [/mm] m=n+m'-n'
also dann : [(m+n'-m',n+m'-n')]
UND :
[(a,b)] [mm] \oplus [/mm] [(a',b')] [mm] \gdw [/mm] a+b' = b+a' [mm] \gdw [/mm] a=b+a'-b'
[mm] \Rightarrow [/mm] b=a+b'-a'
also dann : [(b+a'-b',a+b'-a')].
da [(n,m)] =[(a,b)] und [(n´,m´)]=[a',b'] ist dann alles wohldefiniert ??
und zum einfachsten Element habe ich auch keine idee...
Vielen Dank für weitere tipps
Gruß herben
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> Also ich nehme mir 2 Repräsentanten raus und schau, ob da
> das gleiche rauskommt.
>
> [(n,m)] [mm]\oplus[/mm] [(n',m')] [mm]\gdw[/mm] n+m' = m+n' [mm]\gdw[/mm]
> n=m+n'-m'
Hallo,
das, was hier steht ist ein Mega-Blödinn. Auch wenn Äquivalenzpfeile irgendwie schick sind - sie passen nicht immer.
Es können Aussagen äquivalent sein, aber [(n,m)] [mm]\oplus[/mm] [(n',m')] ist keine Aussage. Das ist einfach ein Term.
Ich sage nochmal, was Du zeigen mußt.
Wenn [(n.m)]=[(a,b)] und wenn [(n',m')]=[(a',b')] ,
dann ist auch
[mm] [(n.m)]\oplus[(n',m')]=[(a,b)] \oplus [/mm] [(a',b')] .
Du mußt also beide Seiten ausrechnen und dann zeigen, daß sie gleich sind.
Ist Dir klar, was mit [(n,m)] gemeint ist? Falls nicht: nachschlagen. Ohne Kenntnis der Definitionen kann man das nicht lösen.
Ist Dir auch klar, was es bedeutet, wenn [(n.m)]=[(a,b)] gilt?
Diese Fragen sind vor Beginn irgendeines Beweises zu klären.
Gruß v. Angela
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Also [n,m] sind ja die variablen für die äquivalenzklassen.
Bei 2a hab ich als beispiele für möglich einfache elemente [(0,0)], [(1,0)] und [(0,1)] angegeben.
da müsste ich doch jetzt zeigen, dass z.B.
[(0,0)] [mm] \oplus [/mm] [(1,0)] = [(1,1)] [mm] \oplus [/mm] [(2,1)]. nur halt allgemein.
Also, dass [(n+n´, m+m´)]= [(a+b´,b+a´)].
Da komm ich jetzt nicht weiter...
wie kann ich denn zeigen, dass das gleich ist, ohne das als vorraussetzung zu nehmen?
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> Also [n,m] sind ja die variablen für die
> äquivalenzklassen.
> Bei 2a hab ich als beispiele für möglich einfache elemente
> [(0,0)], [(1,0)] und [(0,1)] angegeben.
> da müsste ich doch jetzt zeigen, dass z.B.
> [(0,0)] [mm]\oplus[/mm] [(1,0)] = [(1,1)] [mm]\oplus[/mm] [(2,1)]. nur halt
> allgemein.
Hallo,
ja, genau. Ich finde es gut, daß Du Dir mal ein konkretes Beispiel dafür gemacht hast, worum es geht.
>
> Also, dass [(n+n´, m+m´)]= [(a+b´,b+a´)].
> Da komm ich jetzt nicht weiter...
> wie kann ich denn zeigen, dass das gleich ist, ohne das
> als vorraussetzung zu nehmen?
Du hattest aber vorausgesetzt, daß [(n,m)]=[(a,b)] und die gestrichelten entsprechend. Das darfst Du natürlich verwenden
Ich denke, Ihr wißt, daß zwei Äquivalenzklassen entweder gleich oder disjunkt sind.
Du mußt jetzt als daran arbeiten zu zeigen, daß (n+n',m+m') und (a+a'.b+b') äquivalent sind. Damit liegen sie dann in derselben Äquivalenzklasse, und die beiden Klassen sind gleich.
>
Gruß v. Angela
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Ich seh grad ich hatte mich auch vertan beim Verknüpfen...
Also, ich hab jetzt da stehen:
(n-m)-(a-b)= (a´-b´)-(n´-m´)
Kann ich an dem Punkt jetzt sagen, weil die Äquivalenzklassen die gleichen sind, kommt da 0 = 0 raus und somit ist die Wohldefiniertheit bewiesen?
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> Ich seh grad ich hatte mich auch vertan beim Verknüpfen...
Hallo,
Du wolltest zeigen
[(n+m´, m+n´)]= [(a+b´,b+a´)]. (Hab' ich jetzt die richtige Verknüpfung erwischt? Es scheint ein bißchen Durcheinander zu herrschen...)
Dazu sollte die Äquivalenz geprüft werden.
Lt. Def. Deiner Äquivalenzrelation muß man schauen, ob (n+m´)+(b+a´)=(m+n´)+(a+b´) richtig ist.
Das ist äquivalent zu dem, was Du schreibst:
> Also, ich hab jetzt da stehen:
> (n-m)-(a-b)= (a´-b´)-(n´-m´)
> Kann ich an dem Punkt jetzt sagen, weil die
> Äquivalenzklassen die gleichen sind, kommt da 0 = 0 raus
> und somit ist die Wohldefiniertheit bewiesen?
Einfach sagen kann man das nicht. Wir müssen uns erst davon überzeugen.
Nach Voraussetzung was [(n,m)]=[(a,b)], die anderen analog.
==> n+b=m+a und n'+b'=m'+a',
und wenn man das einsetzt, erhält man, daß (n+m´)+(b+a´)=(m+n´)+(a+b´) bzw. (n-m)-(a-b)= (a´-b´)-(n´-m´) stimmt.
Also ist (n+m´, [mm] m+n´)\sim [/mm] (a+b´,b+a´), daher sind die zugehörigen Äquivalenzklassen gleich - und das wolltest Du ja wissen.
Sie sind gleich, also ist die Verknüpfung wohldefiniert.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 So 16.11.2008 | | Autor: | Ninchen01 |
Ich wollte am schluss dann
(n+n´,m+m´)~ (a+a´,b+b´) zeigen, aber das Prinzip ist ja das gleiche.
Jetzt hab ichs verstanden. :-D
Vielen, vielen Dank.
Ich fang dann mal an, den Rest der Gruppenkriterien zu zeigen.
Einen schönen Abend noch,
Liebe Grüße
Ninchen
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