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hallo ich habe ein kleines Problem, bin bei einer Aufgabe auf die GLeichung:
(Bemerkung v. Marcel: Die Formel wurde nachträglich von zwieback86, am 24.09.04 um ca. 7 Uhr 45 editiert)
[mm] \sin^2 (135° - a) * \sin^2 (135°-b) = (1-sin^2 a) * \cos b^2 [/mm]
gekommen, finde jedoch keine weg diese zu beweisen, bin mir aber ziemlich sicher, dass sie korrekt ist.
Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.mfg
achso ich habe vergessen es gilt ausserden a+b+45°=90° !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter,
> hallo ich habe ein kleines Problem, bin bei einer Aufgabe
> auf die GLeichung:
>
> [mm]\sin (135° - a)^2 * \sin (135°-b)^2 = (1-sin^2 a) - \cos b^2[/mm]
>
>
> gekommen, finde jedoch keine weg diese zu beweisen, bin mir
> aber ziemlich sicher, dass sie korrekt ist.
> Wäre nett wenn mir da jemand helfen könnte.mfg
>
> achso ich habe vergessen es gilt ausserden a+b+45°=90° !!
>
Wenn die Formel so zu lesen ist:
[mm]\sin^2(135° - a) * \sin^2 (135°-b) = (1-sin^2(a)) - \cos^2(b)[/mm],
(oder so:
[mm]\sin^2(135° - a) * \sin^2 (135°-b) = (1-sin^2(a)) - \cos(b^2)[/mm]; das folgende Gegenbeispiel rechnet sich dann genauso, weil dort $b=0°$ ist)
dann sage ich:
Tut mir leid, dass ich dich enttäuschen muss, aber:
Für $b=0°$ und $a=45°$ ist $a+b+45°=45°+0°+45°=90°$, also deine letzte Bedingung erfüllt.
Aber:
[mm]\sin^2 (135° - 45°) * \sin^2 (135°-0°)^2 = (1-sin^2(45°) ) - \cos^2 (0°)[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]\sin²(90°) * \sin²(135°)=(1-\sin²(45°))-\cos²(0°)[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]1²*(\frac{1}{\wurzel{2}})²=(1-(\frac{1}{\wurzel{2}})²)-1[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}-1[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}[/m],
und die letzte Gleichung ist sicherlich falsch, also kann die erste Formel nicht stimmen (oder hast du evtl. noch weitere Voraussetzungen an $a$ und $b$? Oder Betragszeichen (links und rechts bei der Gleichung) vergessen?).
Ich kontrolliere das ganze nochmal auf Rechenfehler meinerseits!
Guck aber bitte mal nach, wie die Gleichung genau zu lesen ist. Denn hier:
[mm]\sin (135° - a)^2 * \sin (135°-b)^2 = (1-sin^2 a) - \cos b^2[/mm]
würde ich z.B. das erste "hoch 2" auf den Winkel ($135°-a$) beziehen. Oder meintest du das auch genauso?
PS: Weil ich mir unsicher bin, wie genau deine Formel zu lesen ist, stelle ich die Frage mal auf "teilweise beantwortet".
Ansonsten:
Hier hattest du ja zusätzlich
$a+b+45°=90°$. Das könntest du schon nach $a$ (oder $b$) auflösen (z.B. ist dann $b=45°-a$) und dann in deine zu beweisende Gleichung einsetzen.
Ferner hilfreich sind die Additionstheoreme sowie die Beziehung:
[mm] $\sin²(x)+cos²(x)=1$ [/mm] (Der trigonometrische Pythagoras; sagt dir das was? Wenn nicht, frage bitte nach!)
Falls ich deine Formel also falsch interpretiert habe und mein Gegenbeispiel deswegen keines ist, dann versuche es mal mit diesen Tipps.
Ich hoffe, das hilft dir erstmal weiter! 
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:51 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter,
ich habe das ganze nochmal (wenn ich deine Formel so interpretiere:
(I) $ [mm] \sin^2(135° [/mm] - a) [mm] \cdot{} \sin^2 [/mm] (135°-b) = [mm] (1-sin^2(a)) [/mm] - [mm] \cos^2(b) [/mm] $)
mit $a=20°$ und $b=25°$ und meinem Taschenrechner durchgerechnet.
Dann kommt auf der linken Seite deiner Gleichung:
$ [mm] \sin^2(115°) [/mm] * sin²(110°) [mm] \approx [/mm] 0,7253$ raus, und auf der rechten Seite:
[mm] $(1-sin^2(20°)) [/mm] - [mm] \cos^2(25°) \approx [/mm] 0,0616$
Also so, wie ich die Formel in (I) interpretiere, kann sie nicht stimmen.
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:39 Fr 24.09.2004 | | Autor: | zwieback86 |
Hallo MArcel und Danke für deine Bemühungen ich dussel habe jedoch eine falsche Gleichung hingeschrieben vor dem cos muss kein - sondern ein mal stehen ich werde das berichtigen. Achso und es muss [mm] sin^2 [/mm] heissen, ich veränder es schnell mal mfg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter,
ich habe nun einen Kommentar in deiner ersten Frage dazugeschrieben, dass du die Formel geändert hast. Es soll nur den Sinn und Zweck haben, dass andere verstehen, warum meine Antwort(en) jetzt nicht mehr zu der Formel passt/passen.
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Peter,
es ist also
(*) [mm] $\sin^2 [/mm] (135° - a) [mm] \cdot{} \sin^2 [/mm] (135°-b) = [mm] (1-sin^2 [/mm] a) [mm] \cdot{} \cos^2 [/mm] b $
zu zeigen.
Du hattest ja:
$a=45°-b$ und damit reduziert sich deine Formel auf:
(**) [mm] $\sin^2 [/mm] (90°+b) * [mm] \sin^2 [/mm] (135°-b) = [mm] (1-sin^2 [/mm] (45°-b)) * [mm] \cos^2 [/mm] b $
Nach den Additionstheoremen gilt:
(I) $sin(90°+b)=sin(90°)cos(b)+cos(90°)sin(b)=cos(b)$
(II) [m]sin(135°-b)=sin(135°)cos(-b)+sin(-b)cos(135°)
=\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)+\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b)[/m]
(III) [m]sin(45°-b)=sin(45°)cos(-b)+sin(-b)cos(45°)
=\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)-\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b)[/m]
Mit (I),(II) und (III) reduziert sich die Formel (**) auf:
(***) [m]cos²(b) * (\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)+\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b))² = (1-(\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)-\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b))²) * \cos^2 (b)[/m]
Ist nun $b$ so, dass $cos(b)=0$ gilt, so ist (***) stets richtig (dann steht da $0=0$).
Ist nun $b$ mit $cos(b) [mm] \not=0$, [/mm] so folgt:
(***) [m]cos²(b) * (\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)+\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b))² = (1-(\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)-\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b))²) * \cos^2 (b)[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m](\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)+\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b))² = 1-(\frac{\wurzel{2}}{2}cos(b)-\frac{\wurzel{2}}{2}sin(b))²[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m](\frac{\wurzel{2}}{2}*(cos(b)+sin(b)))² = 1-(\frac{\wurzel{2}}{2}*(cos(b)-sin(b)))²[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m](\frac{\wurzel{2}}{2})²*(cos(b)+sin(b))² = 1-(\frac{\wurzel{2}}{2})²*(cos(b)-sin(b))²[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]\frac{1}{2}*(cos²(b)+2sin(b)cos(b)+sin²(b))=1-\frac{1}{2}(cos²(b)-2sin(b)*cos(b)+sin²(b))[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
(beachte: $sin²(b)+cos²(b)=1$)
[m]\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))=1-\frac{1}{2}(1-2sin(b)*cos(b)) [/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(2sin(b)cos(b))[/m]
[mm] $\gdw$ [/mm]
(auf der rechten Seite [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] vorklammern)
[m]\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))=\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))[/m]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]0=0[/m]
Damit ist hier schon gezeigt, dass deine Gleichung vollkommen korrekt ist! (Beachte bitte:
[mm] $cos(45°)=sin(45°)=sin(135°)=\frac{\wurzel{2}}{2}$,[/mm] [m]cos(135°)=-\frac{\wurzel{2}}{2}[/m], $sin(90°)=1=cos(0°)$ und sonstige bekannte Größen/Beziehungen, die ich verwendet hatte.(Etwa: $sin(-b)=-sin(b)$, $cos(-b)=cos(b)$ etc.))
Der eigentliche Beweis deiner Gleichung ist obige Rechnung, wenn man sie von unten nach oben liest:
Aus $0=0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))=\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[m]\frac{1}{2}(1+2sin(b)cos(b))=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(2sin(b)cos(b))[/m]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
...
Aber meine obige Rechnung kann man auch so stehen lassen, da wir ja stehts Äquivalenzumformungen durchgeführt haben.
Liebe Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:28 Fr 24.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Peter
> [mm]\sin^2 (135° - a) * \sin^2 (135°-b) = (1-sin^2 a) * \cos^2 (b)[/mm]
>
> achso ich habe vergessen es gilt ausserden a+b+45°=90° !!
>
Wie Marcel ja schon dargelegt hat, kann $a$ durch $45°-b$ ersetzt werden.
Dann ergibt sich:
[mm] $\sin^{2} [/mm] (90° - b) * [mm] \sin^{2} [/mm] (135°-b) = [mm] (1-sin^{2} [/mm] (45-b)) * [mm] \cos^{2} [/mm] (b)$
Mit [mm] $sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1$ [/mm] ergibt sich rechterhand auch:
[mm] $\sin^{2} [/mm] (90° - b) * [mm] \sin^{2} [/mm] (135°-b) = [mm] \cos^{2} [/mm] (45°-b) * [mm] \cos^{2} [/mm] (b)$
Es gilt auch: [mm] $\sin (\alpha [/mm] - 90°) = [mm] -\cos(\alpha)$
[/mm]
Dadurch wird deine Gleichung zu:
[mm] $\cos^{2} [/mm] (b) * [mm] \cos^{2} [/mm] (45°-b) = [mm] \cos^{2} [/mm] (45°-b) * [mm] \cos^{2} [/mm] (b)$
Was offensichtlich eine gültige Gleichung ist!
Dabei habe ich natürlich auch noch ausgenützt: [mm] $\cos{(-b)}=cos{(b)}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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