knifflige Kurvendiskussion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Di 12.09.2006 | | Autor: | G3kkoo |
| Aufgabe | Führen Sie eine Kurvendiskussion durch:
[mm] f(x)=sin^{3}x+cos^{3}x [/mm] |
Hallo,
ich habe hier eine Aufgabe aus der letzten Uniklausur und in der Wiederholungsklausur wird es wieder eine ähnliche Aufgabe geben. Ich habe jedoch Probleme, diese Aufgabe zu lösen, da ich nicht genau weiß, wie man mit sin und cos in einer Kurvendiskussion umgeht!
Ist die erste Ableitung so richtig?: f'(x)= 3cos x - 3sin x
Wie geht man generell bei der Nullstellenberechnung vor?
Danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Di 12.09.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi,
ui, diese Kurvendiskussion ist wirklich schwierig. 
(überlege sogar diese ins Uni Forum zu verlegen, da du ja bereits gesagt hast, dass dies eine Klausur ist)
also, deine erste Ableitung stimmt mit Sicherheit nicht:
[mm] f'(x)=3*Cos(x)*Sin^{2}(x)-3*Cos^{2}(x)*Sin(x)
[/mm]
[mm] f''(x)=6*Cos^{2}(x)*Sin(x)-3*Cos^{3}(x)+6*Cos(x)*Sin^{2}(x)-3*Sin^{3}(x)
[/mm]
Für weiteres muss ich jetzt selber rechnen, habe aber jetzt keine Zeit mehr, eventuell nachher.
Gruß
Stefan
P.S.:Probiere doch einmal f(x)=0 zu setzen
f'(x)=0 zu setzen kritische Stellen in f''(x) einzusetzen: schauen ob Minimum oder Maximum
f''(x)=0 setzen->kritische Stelle
[mm] f'''(x)\not= [/mm] 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:11 Di 12.09.2006 | | Autor: | G3kkoo |
Ja das eine Klausur von meiner Uni..
Also wenn ich die Nullstelle berechnen möchte:
[mm] 0=sin^{3}x+cos^{3}x
[/mm]
dann bin ich wieder am Punkt x, wo ich nicht weiterkomm...
Die Ableitung habe ich in Ruhe nochmal gemacht (diesmal mit Überlegung) und kam dann auch auf
cos x*3(sin [mm] x)^{2} [/mm] - sin x*3(cos [mm] x)^{2} [/mm] was diesmal ja richtig ist..
Aber damit jetzt Extrema, WP etc zu berechnen ist relativ knifflig :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 12.09.2006 | | Autor: | G3kkoo |
bzw, gibt es einen Trick diese gut umzuformen um dann einfach fortzufahren?
in meinem Bartsch kann ich nichts brauchbares finden..
Meine, um die NST zu berechnen kann ich keine PQ-Formel anwenden oder Polynomdivision.. Also bleibt ausklammern.. Aber dazu muss man es doch umformen können!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Di 12.09.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
hatte deine Mitteilungen nicht lesen können als ich schrieb.
Versuche doch für f'(x) = 0 mal den Hinweis 6 zu nutzen.
Bsp: sin(0) = 0 und cos (0) = 1 somit f'(0) = [mm] 3*1*0^2 [/mm] - [mm] 3*1^2*0 [/mm] = 0
Wann ist cos(x) = 0 ?
Achte jetzt auf die 2 [mm] \pi [/mm] Periode !!!!!!
Dasselbe Spiel bei der zweiten und dritten Ableitung.
Für Nullstellen: f(x)=0 [mm] \gdw sin^3 [/mm] (x) + [mm] cos^3 [/mm] (x) =0 [mm] \gdw sin^3 [/mm] (x) = [mm] -cos^3 [/mm] (x)
Jetzt einfach aus dem Schaubild ablesbar oder schaue im Bartsch in die Wertetabelle!
Hoffe du kommst jetzt besser klar mit der Aufgabe.
Sonst einfach wieder fragen.
Gruß
Ron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Di 12.09.2006 | | Autor: | ron |
Hallo,
ja diese Kurvendiskussion hat es handwerklich wirklich in sich!
Damit in der nächsten Klausur solche Aufgabentypen leichter zu bearbeiten sind, solltest du dir zunächst die Verläufe von sin und cos aufzeichnen und die Besonderheiten merken:
1. sin(0) = 0 aber cos (0) = 1
2. sin und cos haben Wertebereich im Intervall [-1,1] für [mm] \infty [/mm] bzw. - [mm] \infty
[/mm]
3. 2 [mm] \pi [/mm] Periode beachten
4. Nullstellen von sin und cos innerhalb von [0, 2 [mm] \pi [/mm] ]
5. Additionstheorem für sin und cos
Bsp: [mm] cos^2 [/mm] + [mm] sin^2 [/mm] =1
sin (x [mm] \pm [/mm] y) = sinx cos y [mm] \pm [/mm] cos x sin y
cos (x [mm] \pm [/mm] y) = cosx cos y [mm] \mp [/mm] sinx sin y (Achtung beim Vorzeichen!!)
cos (2x) = cos(x+x) = [mm] cos^2 [/mm] (x) - [mm] sin^2 [/mm] (y)
6. Produkt ist Null, wenn einer der Faktoren Null ist, hilft oft bei den Extremstellen.
Ferner läßt deine erste Ableitung vermuten, dass du dir die Ableitungsregeln nochmal anschauen solltest, sorry, wenn ich mich täuschen sollte wäre ich glücklich!
Gruß
Ron
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Di 12.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nullstellen: [mm] sin^{3}(x)=-cos^{3}(x) [/mm] daraus [mm] tan^{3}(x)=-1 [/mm] und das kann ein Taschenrechner.
1. Ableitung: ausgeklammert: f'=sin(x)*cos(x)*(sinx-cosx) also 0 bei sinx=0, bei cosx=0 und bei sinx=cosx oder tanx=1
Eigentlich ist das doch wirklich leicht.
Vergiss nicht die Nullstellen alle [mm] \pm n*2\pi
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 17.09.2006 | | Autor: | G3kkoo |
| Aufgabe | | Führen Sie eine Kurvendiskussion durch für die Funktion [mm] f(x)=sin^{3}(x)+cos^{3}(x) [/mm] , [mm] D(f)=[0,2\pi] [/mm] |
Tschuldigung das ich jetzt erst wieder schreibe, ich habe mit dem IE große Probleme mit dieser Seite.
Zurück zum Thema. Ich kann die Kurvendiskussion ganz gut und auch mit Ableitung habe ich keine Probleme. Nur bin ich komplett mit dem [mm] sin^{3}(x)+cos^{3}(x) [/mm] überfordert und kann mit euren Beiträgen immer noch nichts anfangen :(
Wahrscheinlich hatte ich zu wenig trigonomisches in der Schule.
Mir machen ja nur die Nullstellenberechnung und Wendepunkte Probleme.. Bzw weiß ich partout nicht wie ich da herangehen soll, da es ja im Endeffekt eine Periode ist...
Wer kann helfen?
Vielen Dank nochmal.. Jenny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 So 17.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Gk
Erstmal solltest du dir die 2 Kurven [mm] sin^{3}x [/mm] und [mm] cos^{3}x [/mm] skizzieren. sie haben ihre Max und Min an denselben Stellen, wo auch cos und sin +1 bzw -1 sind. natürlich auch dieselben Nullstellen.
Dann addierst du die 2 Fkt punktweise, und siehst dir an, was passiert.
2. warum kannst du mit der Aussage für die Nullstellen tanx=-1 (mein voriger Post nix anfangen? der TR gibt wahrscheinlich -45° oder [mm] -\pi/4 [/mm] an, dann muss man wissen, dass tan eine Peride von [mm] \pi [/mm] bzw. 180° hat daraus dann tanx=-1 folgt x=-45°+180° und x=-45+2*180 bzw dasselbe im Bogenmass.
Entsprechend gehst du für Extremwerte und Wendepunkte vor.
Wenn deine Fragen damit nicht beantwortet sind, frag präziser, und sag welche Punkte in den posts du nicht verstanden hast.
Mit der Periode hast du recht, nach [mm] 2\pi [/mm] wiederholt sich alles, aber das muss dich ja nicht kümmern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Fr 22.09.2006 | | Autor: | G3kkoo |
| Aufgabe | Führen Sie eine Kurvendiskussion durch für die Funktion
[mm] f(x)=cos^{3}(x)+sin^{3}(x), D(f)=[0,2\pi]
[/mm]
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Hallo nochmals,
also habe jetzt erst die Klausur erhalten in der die Aufgabe stand und kann nun genauere Angaben geben:
[mm]Machen Sie folgende Angaben:[/mm]
Definitionsbereich von f:
[mm] D(f)=x\in\IR\sub [/mm]
[mm] 0\ge x\ge 2\pi
[/mm]
Wertevorrat von f:
kann man eigentlich erst am Ende bestimmen
Ist f stetig? Alle Nullstellen von f! Vorzeichenverlauf von f.
Da bin ich überfragt
Dazu gibt es noch eine Aufgabem worauf es viele Punkte gab:
Geben Sie an:
-die Nullstellen von f' (liefern Intervallgrenzen, zB: 0 und [mm] \pi [/mm] /4)
-das Vorzeichen von f' zwischen den Nullstellen
-das Monotonieverhalten von f
Jedenfalls ist das eine Nummer zu hoch, vielleicht weiß der eine oder andere damit umzugehen... bin über jeden Rat dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:55 Sa 23.09.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo G3kkoo!
> [mm]Machen Sie folgende Angaben:[/mm]
>
> Definitionsbereich von f:
> [mm]D(f)=x\in\IR_{0\ge x\ge 2\pi}[/mm]
Naja ... hier müssen die Ungleichheitszeichen umgedreht werden damit es Sinn macht:
$D(f) \ = \ [mm] \left\{ \ x\in\IR \ | \ 0 \ \red{\le} \ x \ \red{\le} \ 2\pi \ \right\}$
[/mm]
> Wertevorrat von f:
> kann man eigentlich erst am Ende bestimmen
Da aber sowohl [mm] $\sin(x)$ [/mm] als auch [mm] $\cos(x)$ [/mm] im Intervall [mm] $\left[ \ -1 \ ; \ +1 \ \right]$ [/mm] , kann man zunächst den Wertebereich grob einschränken auf [mm] $[\left[ \ 2*(-1)^3 \ ; \ 2*(+1)^3 \ \right] [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ -2 \ ; \ +2 \ \right]$
[/mm]
Nachher wird man feststellen, dass der Wertebereich in Wirklichkeit durch das Intervall [mm] $\left[ \ -1 \ ; \ +1 \ \right]$ [/mm] beschrieben wird.
> Ist f stetig? Alle Nullstellen von f! Vorzeichenverlauf von f.
Da sich die Funktion mit [mm] $\sin(x)$ [/mm] und [mm] $\cos(x)$ [/mm] sowie [mm] $(...)^3$ [/mm] ausschließlich aus stetigen Teilfunktionen zusammensetzt ... was heißt das für die Gesamtfunktion?
Bei den Nullstellen mal leduart's Tipp von oben folgen:
[mm] $\cos^3(x)+\sin^3(x) [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\cos^3(x)*\left[\bruch{\sin^3(x)}{\cos^3(x)}+1\right] [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\cos^3(x)*\left[\left(\bruch{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^3+1\right] [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\cos^3(x)*\left[\tan^3(x)+1\right] [/mm] \ = \ 0$
Nun ist ein Produkt genau dann gleich Null, wenn (mind.) Faktor den Wert Null annimmt.
Also: [mm] $\cos^3(x) [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $\tan^3(x)+1 [/mm] \ = \ 0$
Ähnlich funktioniert das dann auch mit den Ableitungen und den entsprechenden Nullstellen: weitestgehend ausklammern und das Prinzip vom Nullprodukt.
> Dazu gibt es noch eine Aufgabem worauf es viele Punkte
> gab:
>
>
> Geben Sie an:
> -die Nullstellen von f' (liefern Intervallgrenzen, zB: 0
> und [mm]\pi[/mm] /4)
> -das Vorzeichen von f' zwischen den Nullstellen
> -das Monotonieverhalten von f
Für das Monotonieverhalten benötigst Du die Nullstellen der 1. Ableitung. Denn aus dem Vorzeichen der 1. Ableitung erkennst Du entweder "monoton steigend" bei $f'(x) \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ bzw. "monoton fallend" bei $f'(x) \ [mm] \le [/mm] \ 0$ .
Gruß
Loddar
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