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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Do 24.04.2014 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Seien X,Y [mm] \subset \IR^n [/mm] kompakt. Zeige, dass auch die Menge
X+Y:={x+y| x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y} kompakt ist |
hallo,
aus kompaktheit folgt, dass die Menge abgeschlossen und beschränkt ist. Nach Bolzano weierstraß gilt dann dass jede folge in X bzw. Y Teilfolge besitzt die gegen einen Pkt in X bzw Y konvergiert. aber was ich unter abgeschlossen auch verstehe:falls eine menge abgeschlossen ist dann muss die verknüpfung von 2 elemente auch in der menge liegen. ist es bis dahin richtig? aber wie zeige ich das? kann jemand mir dabei helfen?
gruß,
knowhow
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Hallo,
definieren wir mal [mm] Z:=X+Y:=\{x+y|x\in{X},y\in{Y}\}
[/mm]
X und Y seien kompakt.
Im grunde gibt es mehrere Möglichkeiten jetzt heranzugehen:
1. Möglichkeit: Arbeite mit der Definition der Überdeckung.
2. Möglichkeit: Zeige Z ist beschränkt und abgeschlossen
3. Möglichkeit: Ist [mm] $(z_n)$ [/mm] Folge in Z, so ex. Teilfolge, die gegen ein Element aus Z konvergiert.
Du wolltest ja die letzte Möglichkeit nutzen.
Sei also [mm] Z\supset{(z_n)_{n=1}^\infty} [/mm] eine Folge. Dann lässt sich [mm] (z_n) [/mm] darstellen als [mm] z_n=x_n+y_n [/mm] für jedes [mm] n\in\IN [/mm] mit [mm] x_n\in{X} [/mm] und [mm] y_n\in{Y}.
[/mm]
Nun nimm Teilfolgen von [mm] z_n [/mm] und zeige, dass dann die Teilfolge von [mm] x_n [/mm] in X und [mm] y_n [/mm] in Y konvergiert. Damit konvergiert die Teilfolge von [mm] z_n [/mm] dann in Z. Also ist dann Z kompakt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> aber was ich unter
> abgeschlossen auch verstehe:falls eine menge abgeschlossen
> ist dann muss die verknüpfung von 2 elemente auch in der
> menge liegen.
Nein, das ist mit "abgeschlossen" nicht gemeint.
Sei A eine Teilmenge des [mm] \IR^n.
[/mm]
A ist abgeschlossen
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] $\IR^n \setminus [/mm] A$ ist offen
[mm] \gdw
[/mm]
für jede konvergente Folge [mm] (a_n) [/mm] in A ist auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n \in [/mm] A.
FRED
> ist es bis dahin richtig? aber wie zeige ich
> das? kann jemand mir dabei helfen?
>
> gruß,
> knowhow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 So 27.04.2014 | | Autor: | knowhow |
ich habe folgend gezeigt:
Z.z. jede folge [mm] (x_k)_{k \in IN} \in [/mm] X+Y besitzt Teilfolgen [mm] (x_k_l)_{l \in \IN} [/mm] die gegen ein c [mm] \in [/mm] X+Y konvergiert.
Sei [mm] (x_k)_{k \in \IN} [/mm] eine bel. folge von X+Y, dann lässte sie sich darstellen:
[mm] (x_k)_{k \in \IN}=(a_k)_{k \in \IN}+(b_k)_{k \in \IN} [/mm] wobei [mm] (a_k) \in [/mm] X und [mm] (b_k) \in [/mm] Y.
Sei [mm] (a_k)_{k \in \IN} [/mm] eine Folge von X und [mm] (b_k)_{k \in \IN} [/mm] eine Folge von Y. Da X kompakt besitzt [mm] (a_k) [/mm] Teilfolge [mm] (a_k_l)_{l \in IN} [/mm] die gegen ein [mm] a\in [/mm] X konvergiert. da Y kompakt besitzt [mm] (b_k) [/mm] Teilfolge [mm] (b_k_l)_{l \in \IN} [/mm] die gegen ein b [mm] \in [/mm] Y konvergieren.
dann gilt : [mm] (x_k_l)_{l \in \IN}=(a_k_l)_{l \in \IN} [/mm] + [mm] (b_k_l)_{l \in \IN} [/mm] eine Teilfolge von [mm] (x_k) \in [/mm] X+Y
Nach "rechenregel" von Grenzwert gilt dann:
[mm] \limes_{l\rightarrow\infty}(x_k_l)=\limes_{l\rightarrow\infty}(a_k_l)+\limes_{l\rightarrow\infty}(b_k_l)=a+b \in [/mm] X+Y. damit ist X+Y kompakt.
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:58 So 27.04.2014 | | Autor: | hippias |
> ich habe folgend gezeigt:
>
> Z.z. jede folge [mm](x_k)_{k \in IN} \in[/mm] X+Y besitzt
> Teilfolgen [mm](x_k_l)_{l \in \IN}[/mm] die gegen ein c [mm]\in[/mm] X+Y
> konvergiert.
>
> Sei [mm](x_k)_{k \in \IN}[/mm] eine bel. folge von X+Y, dann lässte
> sie sich darstellen:
>
> [mm](x_k)_{k \in \IN}=(a_k)_{k \in \IN}+(b_k)_{k \in \IN}[/mm] wobei
> [mm](a_k) \in[/mm] X und [mm](b_k) \in[/mm] Y.
>
> Sei [mm](a_k)_{k \in \IN}[/mm] eine Folge von X und [mm](b_k)_{k \in \IN}[/mm]
> eine Folge von Y.
"sei" ist der falsche Modus: Es ist [mm] $(a_{k})_{k\in \IN}$ [/mm] eine Folge etc.
> Da X kompakt besitzt [mm](a_k)[/mm] Teilfolge
> [mm](a_k_l)_{l \in IN}[/mm] die gegen ein [mm]a\in[/mm] X konvergiert. da Y
> kompakt besitzt [mm](b_k)[/mm] Teilfolge [mm](b_k_l)_{l \in \IN}[/mm] die
> gegen ein b [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y konvergieren.
Beachte noch, dass die beiden konvergenten Teilfolgen nicht die gleichen Indices haben muessen. Mit einem kleinen Trick kannst Du die Indices entgiften: Waehle Teilfolge $(a_{k_{l})_{l\in \IN}$. Nun waehle aus der Teilfolge $(y_{k_{l}})_{l\in\IN}$ eine konvergente Teilfolge und bilde damit eine konvergente(?) Teilfolge von $(x_{k})$.
>
> dann gilt : [mm](x_k_l)_{l \in \IN}=(a_k_l)_{l \in \IN}[/mm] +
> [mm](b_k_l)_{l \in \IN}[/mm] eine Teilfolge von [mm](x_k) \in[/mm] X+Y
>
> Nach "rechenregel" von Grenzwert gilt dann:
> [mm]\limes_{l\rightarrow\infty}(x_k_l)=\limes_{l\rightarrow\infty}(a_k_l)+\limes_{l\rightarrow\infty}(b_k_l)=a+b \in[/mm]
> X+Y. damit ist X+Y kompakt.
>
> ist das richtig?
>
Fast.
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