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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Do 29.06.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute,
wenn eine menge M im [mm] \IR^n [/mm] kompakt ist, ist das ja äquvivalent dazu, dass sie abgeschlossen und beschränkt ist.
reicht es nicht, wenn man voraussetzt, dass die menge nur abgeschlossen ist.
will man mit der beschränkheit nur denn fall verhindern, dass man den ganzen raum als kompakt bezeichnet, weil dieser ja auch abgeschlossen ist (aber mehr als "sonderfall") aber nicht beschränkt?
ansonsten sind doch abgeschlossen menge immer beschränkt oder?
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Daß Kompaktheit mit Beschränktheit und gleichzeitiger Abgeschlossenheit zusammenfällt, ist eine Spezialität des euklidischen [mm]\mathbb{R}^n[/mm]. In der allgemeinen Topologie wird Kompaktheit mit Hilfe von Überdeckungseigenschaften charakterisiert.
Und es ist ein Irrtum zu glauben, man könne im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] auf die Beschränktheit verzichten.
So ist z.B.
[mm][1,\infty)[/mm] abgeschlossen im [mm]\mathbb{R}^1[/mm], aber nicht beschränkt
[mm]\mathbb{R} \times [0,\infty)[/mm] abgeschlossen im [mm]\mathbb{R}^2[/mm], aber nicht beschränkt
[mm]\left\{ \, (x,2x,3x) \, \left| \, x \in \mathbb{R} \right. \right\}[/mm] abgeschlossen im [mm]\mathbb{R}^3[/mm], aber nicht beschränkt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Do 29.06.2006 | | Autor: | AriR |
jo die ersten 2 fälle habe ich vergessen zu erwähnen, die sind mir auch noch eingefallen, aber dieses sind meist nur (oder immer) fälle, wo [mm] \infty [/mm] mit im intervall steht denn 2.fall kann man ja auch so schreiben
[mm] (-infty,+\infty)\times[0,\infty]
[/mm]
den 3.fall verstehe ich nicht so ganz, warum der abgeschlossen sein soll.
wie sieht das komplett davon aus? das müsste ja offen sein, damit diese menge abgeschlossen ist.
vielen dank schonmal für deine antwort und gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Do 29.06.2006 | | Autor: | choosy |
im 3. Fall ahndelt es sich um eine Gerade im [mm] R^3, [/mm] diese ist ein abgeschlossener unterraum...
erwähnenswert ist vielleicht auch soetwas wie
[mm] $\IN$ [/mm] ist in [mm] $\IR$ [/mm] abgeschlossen, aber nicht beschränkt/kompakt
(korrektur [mm] $\IQ$ [/mm] wars natürlich nicht....)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Do 29.06.2006 | | Autor: | AriR |
jo aber [mm] \IQ [/mm] ist auch wieder was unendliches. wisst ihr wie ich das meine? also wenn man mengen hat, deren kardinalität kleiner unendlich ist also nur aus einer gewissen anzahl aus elementen bestehen. wenn diese abgeschl. sind, dann snd die doch auch immer beschränkt. nur wenn was unenedliches auftaucht, sind davon die abgeschl. nicht beschränkt oder?
danke auch an dich für deine antwort :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 29.06.2006 | | Autor: | choosy |
na dann ist sogar alles langweilig, denn endlich viele elemente bilden immer eine abgeschlossene menge (als vereinigung einelementiger,d.h. abgeschlossener mengen)
ausserdem sind diese mengen immer beschränkt...
sprich endliche mengen sind immer kompakt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 06:18 Fr 30.06.2006 | | Autor: | AriR |
wobei der rand der menge immer in dieser menge enthalten sein muss oder?
also ist die beschränktheit gefordert, damit man abgeschlossene mengen mit was unenedlichem als kompakte menge ausschließt ne?
danke nochmals und gruß..
Ari
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:22 Fr 07.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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[mm]\mathbb{Q}[/mm] ist nicht abgeschlossen in [mm]\mathbb{R}[/mm]. Jede irrationale Zahl ist ein Häufungspunkt von [mm]\mathbb{Q}[/mm].
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