kompl. Diffbarkeit/ kompl. sin < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Betrachte die Fkt. [mm] f:\IC \to \IC, [/mm] definiert durch [mm] f(z)=f(x+iy)=x^4y^4 [/mm] + [mm] ix^3y^3.
[/mm]
In welchen Punkten von [mm] \IC [/mm] ist f komplex diffbar? |
| Aufgabe 2 | | Bewise, dass [mm] sin:\IC \to \IC [/mm] surjektiv ist. |
Hallo an alle!
Hab mal wieder Probleme mit 2 FT-Aufgaben.
Wäre Euch für Eure Hilfe sehr dankbar:
zu Aufgabe 1:
Reicht es hier zu prüfen, ob die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen gelten, bzw. nicht gelten?
zu Aufgabe 2:
wie kann ich das zeigen?
Als Hinweis wurde mir gesagt, ich solle folg. benutzen: [mm] z-\bruch{1}{z}:\IC^*\to \IC [/mm] ist surjektiv.
Kann mir jemand von Euch helfen?
Würde mich sehr darüber freuen!
VlG und vielen Dank schon mal!
Karin
|
|
| |
|
Hallo, also zu deiner ersten Frage: Ja es reicht dass du zeigst das die C.R. DGL erfüllt sind. Und durch einsetzen bekommst du dann auch genau die Punkte in denen die Funktion komplex differenzierbar ist.
Lieb eGrüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:58 So 14.05.2006 | | Autor: | felixf |
Sali Karin!
> Betrachte die Fkt. [mm]f:\IC \to \IC,[/mm] definiert durch
> [mm]f(z)=f(x+iy)=x^4y^4[/mm] + [mm]ix^3y^3.[/mm]
> In welchen Punkten von [mm]\IC[/mm] ist f komplex diffbar?
> Bewise, dass [mm]sin:\IC \to \IC[/mm] surjektiv ist.
> Hallo an alle!
>
> Hab mal wieder Probleme mit 2 FT-Aufgaben.
> Wäre Euch für Eure Hilfe sehr dankbar:
>
> zu Aufgabe 1:
> Reicht es hier zu prüfen, ob die Cauchy-Riemannschen
> Differentialgleichungen gelten, bzw. nicht gelten?
Wie Tanja schon gesagt hat: Genau!
> zu Aufgabe 2:
> wie kann ich das zeigen?
> Als Hinweis wurde mir gesagt, ich solle folg. benutzen:
> [mm]z-\bruch{1}{z}:\IC^*\to \IC[/mm] ist surjektiv.
Es ist ja [mm] $\sin [/mm] z = [mm] \frac{1}{2}(e^{i z} [/mm] - [mm] e^{-i z})$. [/mm] Und [mm] $e^{-i z} [/mm] = [mm] \frac{1}{e^{i z}}$. [/mm] Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hi Felix!
> > zu Aufgabe 2:
> > wie kann ich das zeigen?
> > Als Hinweis wurde mir gesagt, ich solle folg. benutzen:
> > [mm]z-\bruch{1}{z}:\IC^*\to \IC[/mm] ist surjektiv.
>
> Es ist ja [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - e^{-i z})[/mm]. Und
> [mm]e^{-i z} = \frac{1}{e^{i z}}[/mm]. Kommst du jetzt weiter?
>
Kann ich denn jetzt einfach sagen:
Da [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - e^{-i z})[/mm] und [mm]e^{-i z} = \frac{1}{e^{iz}}[/mm] gilt ja:
[mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - \frac{1}{e^{i z}})[/mm].
Reicht jetzt folgendes:
Da [mm]z-\bruch{1}{z}:\IC^*\to \IC[/mm] surjektiv ist,
muss ebenfalls auch [mm]e^{i z} - \frac{1}{e^{i z}}[/mm] und damit
auch [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - \frac{1}{e^{i z}})[/mm]
(von [mm] \IC^*\to \IC) [/mm] surjektiv sein?
Reicht das, oder hab ich da was vergessen?
Schon (und nochmal) vielen Dank für die Hilfe.
VlG
Karin
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Karin!
> > > zu Aufgabe 2:
> > > wie kann ich das zeigen?
> > > Als Hinweis wurde mir gesagt, ich solle folg.
> benutzen:
> > > [mm]z-\bruch{1}{z}:\IC^*\to \IC[/mm] ist surjektiv.
> >
> > Es ist ja [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - e^{-i z})[/mm]. Und
> > [mm]e^{-i z} = \frac{1}{e^{i z}}[/mm]. Kommst du jetzt weiter?
> >
>
> Kann ich denn jetzt einfach sagen:
>
> Da [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - e^{-i z})[/mm] und [mm]e^{-i z} = \frac{1}{e^{iz}}[/mm]
> gilt ja:
> [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - \frac{1}{e^{i z}})[/mm].
Genau.
> Reicht jetzt folgendes:
> Da [mm]z-\bruch{1}{z}:\IC^*\to \IC[/mm] surjektiv ist,
... und da [mm] $e^{i z} [/mm] : [mm] \IC \to \IC^*$ [/mm] surjektiv ist, ...
> muss ebenfalls auch [mm]e^{i z} - \frac{1}{e^{i z}}[/mm] und damit
> auch [mm]\sin z = \frac{1}{2}(e^{i z} - \frac{1}{e^{i z}})[/mm]
>
> (von [mm]\IC^*\to \IC)[/mm] surjektiv sein?
Nein, [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] und nicht [mm] $\IC^* \to \IC$ [/mm] (also tatsaechlich ist die Funktion [mm] $e^{i z} [/mm] : [mm] \IC^* \to \IC$ [/mm] auch surjektiv und damit die ganze Funktion [mm] $\frac{1}{2} (e^{i z} [/mm] - [mm] \frac{1}{e^{i z}})$, [/mm] aber das musst du schon begruenden).
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:30 Fr 19.05.2006 | | Autor: | karin1982 |
Vielen Dank (im Nachhinein) für Deine nette Hilfe!
Hab's hinbekommen!
VlG
Karin
|
|
|
|
