kompl. Matrix diagonalisierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:26 Mi 05.04.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in [/mm] M(n,n) eine komplexe Matrix mit [mm] A^{k}=0^{n,n} [/mm] für ein k [mm] \in \IN. [/mm]
Ist A diagonalisierbar ?? |
Hallo,
also meine Lösung ist die folgende dazu.
Erster Gedankengang:
Also da [mm] $A^{k}=0$ [/mm] für ein k [mm] \in \IN \Rightarrow $f^{k}\equiv [/mm] 0$.
[mm] \Rightarrow $f^{k}(v)=x^{k}*v=0$, [/mm] da v [mm] \not=0 [/mm] folgt: [mm] x^{k}=0, [/mm] daraus folgt: x=0, also f(v)=x*v=0, also ist A= Null-Matrix.
Also ist A nicht diagonalisierbar.
Zweiter Gedankengang:
f ist genau dann diagonalisierbar, wenn
(a) das charakteristische Polynom zerfällt
[mm] \Rightarrow, [/mm] da wir im komplexen sind, folgt: es zerfällt.
(b) für jeden Eigentwert x gilt die Dimension des Eigenraums entspricht der Dimension der algebr. Vielfachheit.
Dies wird nicht erfüllt. Also ist A nicht diagonalisiserbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mi 05.04.2006 | | Autor: | taura |
Hallo DeusRa!
Was ist denn dein f? Ich nehme an du meinst die Abbildung, so dass A die Abbildungsmatrix von f bezüglich der kanonischen Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] darstellt.
Was ist x? Wie kommst du auf die Formel [mm] $f^k(v)=x^k*v$ [/mm] und warum ist $v [mm] \not= [/mm] 0$? Von was für einem v gehst du überhaupt aus?
Und warum folgerst du, dass A die Nullmatrix ist? Nur weil für einige v gilt, dass f(v)=0 ist, ist f noch lange nicht die Nullabbildung.
Außerdem ist die Nullmatrix diagonal, genaugenommen ist der Fall, dass A die Nullmatrix ist, der einzige Fall in dem A diagonalisierbar ist.
Und zu deinem zweiten Ansatz: Die Bedingungen stimmen so, aber warum ist b) nicht erfüllt? Das musst du schon begründen...
Gruß taura
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