komplexe Wurzelfunktion < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] z^2 [/mm] = -3-4*j |
Wie berechne Ich die Lösungen für z im komplexen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 So 16.12.2018 | | Autor: | chrisno |
Fang einfach an. Schreibe $z = x + jy$, quadriere das.
Dann hast Du eine Gleichung im Komplexen. Daraus ergeben sich zwei Gleichungen im Reellen. Das Gleichungssystem löst Du.
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Ich dachte da viel mehr an die Definition der komplexen Wurzelfunktion
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 So 16.12.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte da viel mehr an die Definition der komplexen
> Wurzelfunktion
Daran kannst Du ja denken, aber mach es dennoch so, wie mein Vorredner es Dir gesagt hat.
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Hallo,
am schnellsten geht so etwas im Allgemeinen in dem du es in die Polarform umwandelst und den Satz von De Moivre für komplexe Wurzeln anwendest. Vor allem wenn du höhere Wurzeln berechnen musst.
Ohne die Polarform zu benutzen geht es so:
$z:= a+bi [mm] \in \IC [/mm] $ ,$a,b,x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $i^2 [/mm] = -1 $
Dann:
[mm] $z^2 [/mm] = (a+bi) (a+bi) = [mm] a^2 [/mm] + 2abi - [mm] b^2 [/mm] = x+yi$
Koeffizientenvergleich:
(1): [mm] $a^2-b^2 [/mm] = x $ und (2): $2ab = y$
Also
[mm] $(a^2 [/mm] - [mm] b^2)^2 [/mm] + [mm] (2ab)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] $
[mm] $a^4 [/mm] - [mm] 2a^{2}b^{2}+b^{4} [/mm] + [mm] 4a^{2}b^{2} [/mm] = [mm] (a^2+b^2)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}+y^{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow a^2+b^2 [/mm] = [mm] \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ge [/mm] 0$ (3)
Nutzung von (1) und (3) liefert :
[mm] $\Rightarrow a^{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a^2+a^2+b^2 [/mm] - [mm] b^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\sqrt{x^2+ y^2} [/mm] + x) $
und analog : [mm] $b^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (\sqrt{x^2 + y^2}-x)$
[/mm]
Jetzt hat man 4 mögliche Werte für z, wenn man allerdings (2) betrachtet sieht man, dass davon nur 2 stimmen können.
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und wie würde das in polarform aussehen ?
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Warum probierst du es nicht selbst und findest es raus?
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Also ich denke eigentlich musst du doch nur streng nach den Definitionen vorgehen:
[mm] z^2 [/mm] = -3 - 4j, z = [mm] \wurzel{-3 - 4j}
[/mm]
Polardarstellung von -3 -4j:
-3 - 4j = r [mm] e^{i \varphi}
[/mm]
r = [mm] \wurzel{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \wurzel{9 + 16} [/mm] = 5
[mm] \varphi [/mm] = [mm] -arccos(\bruch{x}{r}) [/mm] = [mm] -arccos(-\bruch{3}{5})
[/mm]
z = [mm] \wurzel{r}e^{i \bruch{\varphi}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{5}e^{i \bruch{-arccos(-\bruch{3}{5})}{2}}
[/mm]
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Moivre-Formel