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Hallo!
Wir haben jetzt komplexe Zahlen angefangen und in den dazugehörigen Übungen tauchen für mich unerklärliche Dinge auf. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
Nehmen wir zum Beispiel diese Aufgabe:
Bestimme Betrag und Argument von
[mm] z=\alpha\bruch{cos(2\alpha)-isin(2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha}
[/mm]
Für Alpha steht bei uns Phi (oder "Fi")
Der Betrag ist [mm] \alpha [/mm] weil er vor dem ganzen Bruch steht, richtig?
Dann wurde draus gemacht:
[mm] \alpha\bruch{cos(-2\alpha)+isin(-2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha}
[/mm]
Erste Frage: Warum ändern sich die Vorzeichen? Was ist der Zweck?
Weiter gings mit:
[mm] \alpha(cos(-2\alpha-\alpha)+isin(-2\alpha-\alpha)
[/mm]
Frage: wo kommen die jeweiligen [mm] -\alpha [/mm] her? Hat man einfach den Zähler durch den Nenner geteilt und da wird dann noch ein [mm] \alpha [/mm] abgezogen? Versteh ich nicht.
So, dann steht da:
[mm] \alpha(cos(-3\alpha)+isin(-3\alpha)) [/mm] (ok, das ist klar, ist ja nur zusammengefasst)
Argument von z ist: [mm] -3\alpha, [/mm] wenn [mm] \alpha>0
[/mm]
unbestimmt, wenn [mm] \alpha=0
[/mm]
[mm] \pi-3\alpha, [/mm] wenn [mm] \alpha<0
[/mm]
So, was ist denn nun mein Winkel?
Komme mir blöd vor, aber das ist ein rotes Tuch für mich. Könnte genausogut Chinesisch lernen :)
Thanks for your help!
Esperanza
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Hallo Esperanza,
> Hallo!
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> Wir haben jetzt komplexe Zahlen angefangen und in den
> dazugehörigen Übungen tauchen für mich unerklärliche Dinge
> auf. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
> Nehmen wir zum Beispiel diese Aufgabe:
>
> Bestimme Betrag und Argument von
>
> [mm]z=\alpha\bruch{cos(2\alpha)-isin(2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha}[/mm]
>
> Für Alpha steht bei uns Phi (oder "Fi")
>
> Der Betrag ist [mm]\alpha[/mm] weil er vor dem ganzen Bruch steht,
> richtig?
>
> Dann wurde draus gemacht:
>
> [mm]\alpha\bruch{cos(-2\alpha)+isin(-2\alpha)}{cos\alpha+isin\alpha}[/mm]
>
> Erste Frage: Warum ändern sich die Vorzeichen? Was ist der
> Zweck?
Das sind aber zwei Fragen auf einmal:
1. Vorzeichenänderung:
Punktsymmetrie des Sinus: [mm]-\sin\;2\alpha\;=\;\sin\;-2\;\alpha[/mm]
Achsensymmetries des Cosinus: [mm]\cos\;2\alpha\;=\;\cos\;-2\;\alpha[/mm]
2. Zweck
Gleiche Argumente
>
> Weiter gings mit:
>
> [mm]\alpha(cos(-2\alpha-\alpha)+isin(-2\alpha-\alpha)[/mm]
>
> Frage: wo kommen die jeweiligen [mm]-\alpha[/mm] her? Hat man
> einfach den Zähler durch den Nenner geteilt und da wird
> dann noch ein [mm]\alpha[/mm] abgezogen? Versteh ich nicht.
Multiplikation mit dem konjugiert Komplexen von [mm][mm] \cos\;\alpha\;+\;i\;\sin\;\alpha[/mm] [mm]:
[mm][mm] \cos\;\alpha\;-\;i\;\sin\;\alpha[/mm] [mm]
>
> So, dann steht da:
>
> [mm]\alpha(cos(-3\alpha)+isin(-3\alpha))[/mm] (ok, das ist klar, ist
> ja nur zusammengefasst)
>
> Argument von z ist: [mm]-3\alpha,[/mm] wenn [mm]\alpha>0[/mm]
> unbestimmt, wenn [mm]\alpha=0[/mm]
> [mm]\pi-3\alpha,[/mm] wenn [mm]\alpha<0[/mm]
>
> So, was ist denn nun mein Winkel?
Je nach dem Vorzeichen des Winkels [mm]\alpha[/mm] hast Du ein anderes Argument von z.
Gruß
MathePower
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