komplexe nullstellen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:56 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Pompeius |
| Aufgabe | sei f [mm] \in [/mm] R[X] und f [mm] \not= [/mm] 0
(i) ist z [mm] \in [/mm] C eine Nullstelle von f, dann ist auch die konjugiert komplexe zahl von z eine Nullstelle von f. |
Hi leute !
es wäre nett wenn sich jemand mal meinen ansatz dazu ansehen könnte ...
also wenn man davon ausgeht das (i) stimmt, dann müsste doch gelten:
f(z) =0= f(z´) (z´=konjugiert komplexe zahl)
also doch auch f(z) - f(z´) = 0
ich hab jetzt z und z´einfach in koordinatenform eingesetzt ..
also z=(b,c) ; z´=(b,-c)
und nach mehreren umformungen komm ich auf:
[mm] a_{n}[(b,c)^{n}-(b,-c)^{n}]+...+a_{0}[(b,c)-(b,-c)] [/mm] = 0
ja hier müsste doch jetzt sowas in der art (0,x) rauskommen oder ? also eine komplexe zahl wo der realteil = 0 ist ... ??
oder geht es mit diesem ansatz nicht ?
danke schon mal für dich hilfe !!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Do 13.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> oder geht es mit diesem ansatz nicht ?
ich befürchte, dass du mit diesem ansatz - zumindest nicht all zu schnell - zum zeil kommst. überleg dir mal, dass [mm] $f(\overline{z}) [/mm] = [mm] \overline{f(z)}$ [/mm] ist - dabei musst du nur bekannte regeln für die komplexe konjugation verwenden, etwa [mm] $\overline{z + w} [/mm] = [mm] \overline{z} [/mm] + [mm] \overline{w}$ [/mm] und das analogon für die multiplikation, sowie [mm] $\overline{x} [/mm] = x$ für $x [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] verwenden. schreibe dazu am besten mal eine der beiden seiten obiger gleichung aus, dann siehst du recht schnell, wie man zu der anderen kommt.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 13.12.2007 | | Autor: | Pompeius |
hey danke für die schnelle antwort !!
also wenn ich [mm] f(\overline{z}) [/mm] anhand des polynoms mit den regeln für konjugiert komplexe zahlen umforme komm ich auch auf [mm] \overline{f(z)} [/mm] ....
doch was beudeutet das genau ?
ich weiß ja das f(z) = (0,b) ist ?! ... ( kann man das so sagen??)
also wäre [mm] \overline{f(z)} [/mm] = (0,-b) ? ..
da könnte man ja sehen das dann [mm] f(\overline{z}) [/mm] auch eine nullstelle wäre
... hoffentlich stimmt das jetzt auch mal irgendwie :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Fr 14.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> also wenn ich [mm]f(\overline{z})[/mm] anhand des polynoms mit den
> regeln für konjugiert komplexe zahlen umforme komm ich auch
> auf [mm]\overline{f(z)}[/mm] ....
das sieht doch schon mal sehr gut aus. und damit bist du doch schon fast fertig.
> ich weiß ja das f(z) = (0,b) ist ?! ... ( kann man das so
> sagen??)
mir ist etwas unklar, was du damit sagen willst...
also du willst doch zeigen, dass wenn du eine feste komplexe zahl, nenne wir sie mal [mm] $z_0$, [/mm] hast, die nullstelle des polynoms $f$ mit reellen koefizienten ist, dann ist auch ihre komplex konjugierte [mm] $\overline{z_0}$ [/mm] nullstelle von $f$.
also sei [mm] $f(z_0) [/mm] = 0$. nun berechnet sich [mm] $f(\overline{z_0}) [/mm] = [mm] \overline{f(z_0)} [/mm] = [mm] \overline{0} [/mm] = 0$, wobei das erste gleichheitszeichen gilt, da du gezeigt hast, dass für alle $z [mm] \in \mathbb{C}$ [/mm] gilt [mm] $f(\overline{z}) [/mm] = [mm] \overline{f(z)}$ [/mm] und das zweite gleichheitszeichen nach voraussetzung über [mm] $z_0$ [/mm] gilt.
und damit bist du fertig...
grüße
andreas
|
|
|
|
