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Hallo!
Ich hab eine Frage zum Rechnen mit Komplexen Zahlen.
Angenommen ich soll ein Zahl z27 darstellen (einfach mal x+iy).
Dann soll ich erst in Polarkoordinaten und dann wieder zurück in kartesische gehen.
Die Unklarheiten:
Ich weiß zwar, dass ich cosµ durch x/r und sinµ durch y/r kriege und dann für die PKD eiµ machen muss und dass eiµ = r(cosµ + isinµ) ist.
Aber erstens: Woher weiß ich jetzt (ohne Taschenrechner) welches mein Winkel ist? In so einer Tabelle kommt ja mehrmals - sagen wir mal [mm] \wurzel{2}/2 [/mm] vor, bei verschiedene Grad-Werten. Muss ich da schaun, wo für die - evtl. unterschiedlichen- sin und cos Werte die gleiche Gradzahl ist?
Andererseits muss man ja um e hoch i phi zu kriegen cos phi + sin phi rechnen - da auch wieder die Frage - wie komm ich da auf mein Bogenmaß bzw die Gradzahl?
Und wenn ich dann mal daráufgekommen sein sollte: wie kann ich dann mit dieser Formel zn = cosnµ + isinnµ zum Beispiel für n = 27 ohne Taschenrechner den cos und den sin von beispielsweise 27* 1/4 pi rauskriegen?
Für jede Hilfe wär ich dankbar :))
Yana
ein kleines edit: hab nochmal rumprobiert. ich hab halt keinen taschenrechner in der klausur und will deshlab hier beim üben auch ohne auskommen.
kann es sein, dass ich wiklich einfach in der tabelle rumsuchen muss, welcher winkel jetzt "passt" auf meine angaben für cos und sin?
und dieses 27/4 pi - einfach in 6 3/4 pi umwandeln und dann schaun was bei 3/4 rauskommt?
Nachricht bearbeitet (Fr 26.12.03 12:17)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:06 Sa 27.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Yana_Stern,
deine Frage ist recht wirr, wahrscheinlich gehe ich in meiner Antwort auf ein paar deiner Probleme nicht richtig ein.
Also, ich nehme an, es ist eine komplexe Zahl z = x+iy gegeben und du sollst z27 berechnen.
Am einfachsten wird der Winkel [mm]\phi[/mm] und der Radius [mm]r[/mm] der Polarkoordinaten so berechnet:
[mm]r = \sqrt{x^2+y^2}[/mm]
[mm]\phi = \arctan{\frac{y}{x}}[/mm]
Es gilt dann:
[mm] x=r*\cos\phi[/mm], [mm] y=r*\sin\phi [/mm]
Diese Beziehung zeigt man übrigens ganz schnell, indem man das rechtwinklige Dreieck (0;0), (x; 0), (x; y) in einem kartesischen Koordinatensystem betrachtet.
Hierbei gehe ich natürlich davon aus, dass du eine Wertetabelle für den Tagens hast; falls nicht, kommst du über die Beziehung [mm] \tan\phi=\frac{\sin\phi}{\cos\phi}[/mm] an seine Werte (und für Sinus und Kosinus scheinst du ja eine zu haben).
Den Weg des "Ausprobierens", den du vorgeschlagen hast, finde ich nicht so gut, weil mir das recht kompliziert erscheint.
Jetzt zu den Potenzen der komplexen Zahl.
Hierfür kannst du geschickt die Periodizität und die Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus ausnutzen, aber so etwas hast du ja anscheinend in deinem Nachtrag angewendet.
Wegen der Periodizität von Sinus und Kosinus (Periodenlänge [mm]2\pi[/mm]) gilt ja:
[mm] \sin(\phi + 2*k*\pi) = \sin(\phi) [/mm] für alle [mm] k\in\IZ[/mm]
[mm] \cos(\phi + 2*k*\pi) = \cos(\phi) [/mm] für alle [mm] k\in\IZ[/mm]
Also ist auch:
[mm]\sin 6\frac{3}{4}\pi = \sin \frac{3}{4}\pi [/mm] und [mm]\cos 6\frac{3}{4}\pi = \cos \frac{3}{4}\pi [/mm]
Mittels der Symmetrieeigenschaften von Sinus und Kosinus, die man sich am besten an den gezeichneten Graphen veranschaulicht, kann man dann noch sehen (falls die Werte für [mm]\frac{3}{4}\pi[/mm] nicht in deiner Tabelle stehen), dass
[mm] \sin\frac{3}{4}\pi = \sin\frac{1}{4}\pi [/mm]
und
[mm] \cos\frac{3}{4}\pi = -\cos\frac{1}{4}\pi [/mm]
Jetzt muß nur noch [mm] \sin\frac{1}{4}\pi [/mm] und [mm] \cos\frac{1}{4}\pi [/mm] in deiner Tabelle stehen und du hast das Ergebnis...
Wie zu Beginn gesagt habe ich vielleicht nicht alle deine Fragen hier beantwortet, frage in diesem Fall einfach nochmal nach.
Alles Gute,
Marc
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Hallo marc,
danke für deine antwort.
und sorry, dass ich so querbeet geschrieben haben.
die beziehungen, die du genannt hast, sind mir schon klar.
zB [mm] \phi = \arctan{\frac{y}{x}} [/mm]
Wie soll ich aber ohne Taschenrechner den arctan berechnen?
Da kann ich doch eigentlich nur ausprobieren.
Also ganz normal cos und sin phi berechnen (mit einem schönen r geht das ja ganz gut im Kopf) und dann in die Tabelle schauen, welcher Winkel passt.
ODER mir die Zahl aufmalen (x und y) und dann z einzeichnen und phi abschätzen.
Das mit den Symmetrieeingenschaften hab ich mir mal aufgemalt. das wußte ich vielleicht mal irgendwo im Hinterkopf aber im entscheidenden Augenblick weiß ich es dann nicht :((
Trotzdem danke,
Gruß Yana
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Sa 27.12.2003 | | Autor: | Marc |
Hallo Yana_Stern,
> zB [mm] \phi = \arctan{\frac{y}{x}} [/mm]
>
> Wie soll ich aber ohne Taschenrechner den arctan berechnen?
Ich dachte, du hättest eine Tabelle dafür...
Für ein paar Winkel hat der Tangens außerdem ja ganz "schöne" Werte:
[mm] \tan 0=0 [/mm]
[mm] \tan 30°=\frac{\sqrt{3}}{3} [/mm]
[mm] \tan 45°=1 [/mm]
[mm] \tan 60°=\sqrt{3}[/mm]
[mm] \tan 135°=-1 [/mm]
usw.
> Da kann ich doch eigentlich nur ausprobieren.
> Also ganz normal cos und sin phi berechnen (mit einem schönen r
> geht das ja ganz gut im Kopf) und dann in die Tabelle schauen,
> welcher Winkel passt.
Welche oder was für eine Tabelle darfst du denn in der Klausur benutzen?
> ODER mir die Zahl aufmalen (x und y) und dann z einzeichnen und
> phi abschätzen.
Das [mm] \phi [/mm] abzuschätzen ist sicher keine gute Lösung. Du kannst zwar eine Skizze machen, und auf eine Lösungsidee hoffen, aber die Skizze nicht Bestandteil deiner Lösung machen.
> Das mit den Symmetrieeingenschaften hab ich mir mal aufgemalt.
> das wußte ich vielleicht mal irgendwo im Hinterkopf aber im
> entscheidenden Augenblick weiß ich es dann nicht :((
>
Das ist nur Übung, und nach ein paar Aufgaben berherrschst du diese Symmetrieüberlegungen.
Poste doch mal eine Beispielaufgabe, dann können wir sie gemeinsam durchgehen oder wir kontrollieren deine Ergebnisse.
Alles Gute,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Sa 03.01.2004 | | Autor: | Yana_Stern |
Hallo Marc,
danke für deine Antwort.
Ich suche mal eine Aufgabe raus!
Yana
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