komplexe zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie
(1) alle komplexen Zahlen z mit ¯z = [mm] z^2.
[/mm]
(2) alle komplexen Zahlen z, für die 1+z/1−z reell ist.
(3) alle komplexen Zahlen z, für die 1+z/1−z rein imaginär ist. |
kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Do 13.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie
> (1) alle komplexen Zahlen z mit ¯z = [mm]z^2.[/mm]
> (2) alle komplexen Zahlen z, für die 1+z/1−z reell
> ist.
> (3) alle komplexen Zahlen z, für die 1+z/1−z rein
> imaginär ist.
> kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?
wenn man gar keine (andere) Idee hat, dann schreibt man mal
[mm] $$z=x+i*y\,$$
[/mm]
mit $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] und schaut sich an, wie das ganze in äquivalenter Fassung in den reellen Variablen [mm] $x,y\,$ [/mm] dann ausschaut. Nützlich ist oft auch, wenn man weiß, wie man "Brüche komplexer Zahlen so umschreiben kann, dass man Real- und Imaginärteil dann ablesen kann". (Erweiterung mit dem konjugiert komplexen des Nenners! Ich schreibe [mm] $\overline{z}$ [/mm] für die zu [mm] $z\,$ [/mm] zugehörige konjugiert komplexe Zahl; insbesondere beachte $z [mm] \overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$ [/mm] für $z=x+i*y$ mit $x,y [mm] \in \IR$!)
[/mm]
Machen wir es mal bei (2), und ich nehme an, dass Du Klammern vergessen hast, und nicht, wie Deine Notation eigentlich bedeutet (Punkt- vor Strichrechnung!)
[mm] $$1+\frac{z}{1}-z\,,$$
[/mm]
sondern
[mm] $$(1+z)/(1-z)=\frac{1+z}{1-z}$$
[/mm]
meinst:
[mm] $$\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)\overline{(1-z)}}{(1-z)\overline{(1-z)}}=\frac{(1+x+i*y)(1-x+i*y)}{(1-x)^2+y^2}=\frac{(1+iy)^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1-x^2-y^2\blue{+}2iy}{(1-x)^2+y^2}$$
[/mm]
[mm] $$=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,.$$
[/mm]
(Bitte nachrechnen!)
Wie kann man daraus nun erkennen, welche $z [mm] \in \IC$ [/mm] so sind, dass der in der ersten Zeile der Rechnung auftauchende Bruch oben rein reell ist? (P.S.: Beachte hier auch den "Spezialfall" [mm] $x=z=1\,,$ [/mm] der nicht erlaubt ist nach Definition des Bruches bzw. der Division: Division durch [mm] $0\,$ [/mm] ist nicht erlaubt!)
Wenn Du das verstanden hast, dann kannst Du das Ergebnis dieser Umformung direkt auch für (3) benutzen. Und (1) sollte dann auch klar werden!
Edit: Vorzeichen korrigiert!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
ich misch mich mal ein , wenn ihr nichts dagegen habt.
> Machen wir es mal bei (2), und ich nehme an, dass Du
> Klammern vergessen hast, und nicht, wie Deine Notation
> eigentlich bedeutet (Punkt- vor Strichrechnung!)
> [mm]1+\frac{z}{1}-z\,,[/mm]
> sondern
> [mm](1+z)/(1-z)=\frac{1+z}{1-z}[/mm]
> meinst:
>
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)\overline{(1-z)}}{(1-z)\overline{(1-z)}}=\frac{(1+x+i*y)(1-x+i*y)}{(1-x)^2+y^2}=\frac{(1+iy)^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1-x^2-y^2-2iy}{(1-x)^2+y^2}[/mm]
>
> [mm]=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{-2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
> (Bitte nachrechnen!)
Ich habs nachgerechnet, stimmt so.
> Wie kann man daraus nun erkennen, welche [mm]z \in \IC[/mm] so sind,
> dass der in der ersten Zeile der Rechnung auftauchende
> Bruch oben rein reell ist? (P.S.: Beachte hier auch den
> "Spezialfall" [mm]x=z=1\,,[/mm] der nicht erlaubt ist nach
> Definition des Bruches bzw. der Division: Division durch
> [mm]0\,[/mm] ist nicht erlaubt!)
Also ich weiß, dass [mm] z+\overline{z}=2*Re [/mm] z immer eine reelle Zahl ist.
Wenn ich dich richtig versteh, muss der erste bruch, also [mm] \frac{1+z}{1-z} [/mm] reell sein, bzw. das gibt ja die Aufgabe her.
Ich hab mir überlegt, dass demnach [mm] \overline{z}=1 [/mm] sein muss, damit schonmal der Zähler reell ist. Daraus folgt, dass z=1-a-b*i ist. Und beim Nenner bin ich mir etwas unsicher, denn da steht vor dem z ein Minus,ich weiß nicht genau was ich mit dem Minus machen soll.
Stimmt das so einigermaßen?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy90,
> Hallo,
>
> ich misch mich mal ein , wenn ihr nichts dagegen habt.
>
> > Machen wir es mal bei (2), und ich nehme an, dass Du
> > Klammern vergessen hast, und nicht, wie Deine Notation
> > eigentlich bedeutet (Punkt- vor Strichrechnung!)
> > [mm]1+\frac{z}{1}-z\,,[/mm]
> > sondern
> > [mm](1+z)/(1-z)=\frac{1+z}{1-z}[/mm]
> > meinst:
> >
> >
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)\overline{(1-z)}}{(1-z)\overline{(1-z)}}=\frac{(1+x+i*y)(1-x+i*y)}{(1-x)^2+y^2}=\frac{(1+iy)^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1-x^2-y^2-2iy}{(1-x)^2+y^2}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{-2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
> > (Bitte nachrechnen!)
>
> Ich habs nachgerechnet, stimmt so.
Nein, das stimmt nicht:
[mm]=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{\red{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
>
> > Wie kann man daraus nun erkennen, welche [mm]z \in \IC[/mm] so sind,
> > dass der in der ersten Zeile der Rechnung auftauchende
> > Bruch oben rein reell ist? (P.S.: Beachte hier auch den
> > "Spezialfall" [mm]x=z=1\,,[/mm] der nicht erlaubt ist nach
> > Definition des Bruches bzw. der Division: Division durch
> > [mm]0\,[/mm] ist nicht erlaubt!)
>
> Also ich weiß, dass [mm]z+\overline{z}=2*Re[/mm] z immer eine
> reelle Zahl ist.
>
> Wenn ich dich richtig versteh, muss der erste bruch, also
> [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] reell sein, bzw. das gibt ja die Aufgabe
> her.
> Ich hab mir überlegt, dass demnach [mm]\overline{z}=1[/mm] sein
> muss, damit schonmal der Zähler reell ist. Daraus folgt,
> dass z=1-a-b*i ist. Und beim Nenner bin ich mir etwas
> unsicher, denn da steht vor dem z ein Minus,ich weiß nicht
> genau was ich mit dem Minus machen soll.
> Stimmt das so einigermaßen?
>
Nun, der Fall, daß im Nenner eine 0 steht, ist auszuschliessen.
Wenn eine komplexe Zahl reell sein soll,
dann muss der Imaginärteil dieser komplexen Zahl verschwinden.
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)\overline{(1-z)}}{(1-z)\overline{(1-z)}}=\frac{(1+x+i*y)(1-x+i*y)}{(1-x)^2+y^2}=\frac{(1+iy)^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1-x^2-y^2-2iy}{(1-x)^2+y^2}[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{-2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
> > > (Bitte nachrechnen!)
> >
> > Ich habs nachgerechnet, stimmt so.
>
>
> Nein, das stimmt nicht:
>
> [mm]=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{\red{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
Ach herrje, ich hatte es - glaube ich - erst richtig, und dann falsch korrigiert. Danke! (Wirkt sich aber bei der Aufgabe glücklicherweise nicht aus, soweit ich das auf die Schnelle überblicke!)
P.S.
Ich werde die Rechnung korrigieren! Danke!
Gruß,
MArcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Hallo,
>
> ich misch mich mal ein , wenn ihr nichts dagegen habt.
>
> > Machen wir es mal bei (2), und ich nehme an, dass Du
> > Klammern vergessen hast, und nicht, wie Deine Notation
> > eigentlich bedeutet (Punkt- vor Strichrechnung!)
> > [mm]1+\frac{z}{1}-z\,,[/mm]
> > sondern
> > [mm](1+z)/(1-z)=\frac{1+z}{1-z}[/mm]
> > meinst:
> >
> >
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\frac{(1+z)\overline{(1-z)}}{(1-z)\overline{(1-z)}}=\frac{(1+x+i*y)(1-x+i*y)}{(1-x)^2+y^2}=\frac{(1+iy)^2-x^2}{(1-x)^2+y^2}=\frac{1-x^2-y^2-2iy}{(1-x)^2+y^2}[/mm]
> >
> >
> [mm]=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i*\frac{-2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
> > (Bitte nachrechnen!)
>
> Ich habs nachgerechnet, stimmt so.
bis auf den Vorzeichenfehler, den Mathepower entdeckt hat ^^
> > Wie kann man daraus nun erkennen, welche [mm]z \in \IC[/mm] so sind,
> > dass der in der ersten Zeile der Rechnung auftauchende
> > Bruch oben rein reell ist? (P.S.: Beachte hier auch den
> > "Spezialfall" [mm]x=z=1\,,[/mm] der nicht erlaubt ist nach
> > Definition des Bruches bzw. der Division: Division durch
> > [mm]0\,[/mm] ist nicht erlaubt!)
>
> Also ich weiß, dass [mm]z+\overline{z}=2*Re[/mm] z immer eine
> reelle Zahl ist.
Dieses Wissen hätte man auch in der Art und Weise benutzen können, wenn man mit dem "konjugieren" zu rechnen weiß. Genau dann ist
[mm] $$\frac{1+z}{1-z}$$
[/mm]
reell, wenn die Summe dieses Bruches mit dem konjugiert komplexen dieses Bruches gerade [mm] $2*\frac{1+z}{1-z}$ [/mm] ergibt (das folgt ja auch aus Deiner Gleichung, wenn man beachtet, dass eine komplexe Zahl genau dann reell ist, wenn sie mit ihrem Realteil übereinstimmt; ähnliches kann man danach für (3) überlegen...).
Aber dieses Rechnen mit dem konjugier(t)en [mm] $\overline{ \;}$ [/mm] ist für viele anfangs ungewohnt und verwirrend. Wenn Du magst: Probiere es mal damit. Es gibt ja Regeln wie etwa [mm] $\overline{zw}=\overline{z}*\overline{w}$ [/mm] oder [mm] $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$...
[/mm]
> Wenn ich dich richtig versteh, muss der erste bruch, also
> [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] reell sein, bzw. das gibt ja die Aufgabe
> her.
Das ist die Aufgabenstellung (bei (2)).
> Ich hab mir überlegt, dass demnach [mm]\overline{z}=1[/mm] sein
> muss, damit schonmal der Zähler reell ist. Daraus folgt,
> dass z=1-a-b*i ist. Und beim Nenner bin ich mir etwas
> unsicher, denn da steht vor dem z ein Minus,ich weiß nicht
> genau was ich mit dem Minus machen soll.
> Stimmt das so einigermaßen?
Naja, wenn wir eine Zahl [mm] $\tilde{z}$ [/mm] in der Form
[mm] $$\tilde{z}=\frac{s}{t}+\frac{u}{v}*i$$
[/mm]
mit $s,t,u,v [mm] \in \IR$ [/mm] sehen, dann wissen wir doch, dass diese genau dann rein reell ist, wenn [mm] $u=0\,.$
[/mm]
Und wir wissen dann, dass [mm] $\tilde{z}$ [/mm] genau dann rein imaginär ist, wenn $s=0$ und $u [mm] \not=0\,.$
[/mm]
(Und zu Ergänzung: Wir schreiben ein solches [mm] $\tilde{z}$ [/mm] auch nur dann hin bzw. fassen es als "sinnvoll" auf, wenn $t,v [mm] \not=0$ [/mm] sind. Und ich habe oben quasi den "in [mm] $z\,$ [/mm] komplexen (Ausgangs-)Bruch" als solch eine Zahl [mm] $\tilde{z}\,,$ [/mm] die "nach Real- und Imaginärteil sortiert ist", umgeschrieben. Und dabei sind halt dann [mm] $v\,$ [/mm] und [mm] $t\,$ [/mm] identisch, und es gibt natürlich Zusammenhänge zwischen [mm] $s,t,u\,$ [/mm] und den [mm] $x,y\,$ [/mm] bzgl. [mm] $z\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Und wir wissen dann, dass [mm]\tilde{z}[/mm] genau dann rein
> imaginär ist, wenn [mm]s=0[/mm] und [mm]u \not=0\,.[/mm]
>
> (Und zu Ergänzung: Wir schreiben ein solches [mm]\tilde{z}[/mm]
> auch nur dann hin bzw. fassen es als "sinnvoll" auf, wenn
> [mm]t,v \not=0[/mm] sind. Und ich habe oben quasi den "in [mm]z\,[/mm]
> komplexen (Ausgangs-)Bruch" als solch eine Zahl
> [mm]\tilde{z}\,,[/mm] die "nach Real- und Imaginärteil sortiert
> ist", umgeschrieben. Und dabei sind halt dann [mm]v\,[/mm] und [mm]t\,[/mm]
> identisch, und es gibt natürlich Zusammenhänge zwischen
> [mm]s,t,u\,[/mm] und den [mm]x,y\,[/mm] bzgl. [mm]z\,.[/mm])
Ah, ich glaube ich habs verstanden. Dann müsste für alle Zahlen [mm] z=\bruch{1-a^{2}}{(1-a)^{2}} [/mm] der Bruch [mm] \bruch{1+z}{1-z} [/mm] reell sein, denn für b setze ich 0 ein und natürlich a [mm] \not=1.
[/mm]
Und rein imaginär ist er dann, wenn [mm] a^{2}+b^{2}=1, [/mm] mit b [mm] \not=0. [/mm] Stimmt das?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 So 16.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
>
> > Und wir wissen dann, dass [mm]\tilde{z}[/mm] genau dann rein
> > imaginär ist, wenn [mm]s=0[/mm] und [mm]u \not=0\,.[/mm]
> >
> > (Und zu Ergänzung: Wir schreiben ein solches [mm]\tilde{z}[/mm]
> > auch nur dann hin bzw. fassen es als "sinnvoll" auf, wenn
> > [mm]t,v \not=0[/mm] sind. Und ich habe oben quasi den "in [mm]z\,[/mm]
> > komplexen (Ausgangs-)Bruch" als solch eine Zahl
> > [mm]\tilde{z}\,,[/mm] die "nach Real- und Imaginärteil sortiert
> > ist", umgeschrieben. Und dabei sind halt dann [mm]v\,[/mm] und [mm]t\,[/mm]
> > identisch, und es gibt natürlich Zusammenhänge zwischen
> > [mm]s,t,u\,[/mm] und den [mm]x,y\,[/mm] bzgl. [mm]z\,.[/mm])
>
> Ah, ich glaube ich habs verstanden. Dann müsste für alle
> Zahlen [mm]z=\bruch{1-a^{2}}{(1-a)^{2}}[/mm] der Bruch
> [mm]\bruch{1+z}{1-z}[/mm] reell sein, denn für b setze ich 0 ein
> und natürlich a [mm]\not=1.[/mm]
> Und rein imaginär ist er dann, wenn [mm]a^{2}+b^{2}=1,[/mm] mit b
> [mm]\not=0.[/mm] Stimmt das?
zu so später Stunde sehe ich, ehrlich gesagt, gar nicht, was Du da gemacht hast. Hast Du denn irgendwas gerechnet? Und was ist bei Dir [mm] $a\,$ [/mm] (Realteil von [mm] $z\,$?) [/mm] und was ist [mm] $b\,$ [/mm] (Imaginärteil von [mm] $z\,$?)?
[/mm]
Jedenfalls:
$$ [mm] \frac{1+z}{1-z}=\ldots=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\cdot{}\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,. [/mm] $$
zeigt doch, dass der Bruch $ [mm] \frac{1+z}{1-z}$ [/mm] genau dann rein reell ist, wenn [mm] $\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0$ [/mm] gilt. Und [mm] $\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $y=0\,$ [/mm] gilt. (Natürlich wäre auch hier im Falle [mm] $(1-x)^2+y^2=0\,,$ [/mm] der genau dann eintritt, wenn [mm] $x=1\,$ [/mm] und [mm] $y=0\,$ [/mm] - d.h. [mm] $z=1\,$ [/mm] - gilt, der Bruch gar nicht definiert.)
Also:
1.) Nur für $z [mm] \not=1$ [/mm] ist [mm] $\frac{1+z}{1-z}$ [/mm] überhaupt definiert, und demzufolge gilt wegen obiger Überlegung
2.) Für komplexes $z=x+iy [mm] \in \IC [/mm] = [mm] \IR +i*\IR\,,$ [/mm] $z [mm] \not=1$ [/mm] ist
[mm] $$\frac{1+z}{1-z}$$
[/mm]
genau dann rein reell, wenn [mm] $y=\text{Im}(z)=0$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 So 16.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Jedenfalls:
>
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\ldots=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\cdot{}\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
>
> zeigt doch, dass der Bruch [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] genau dann rein
> reell ist, wenn [mm]\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0[/mm] gilt. Und
> [mm]\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0[/mm] gilt genau dann, wenn
> [mm]y=0\,[/mm] gilt. (Natürlich wäre auch hier im Falle
> [mm](1-x)^2+y^2=0\,,[/mm] der genau dann eintritt, wenn [mm]x=1\,[/mm] und
> [mm]y=0\,[/mm] - d.h. [mm]z=1\,[/mm] - gilt, der Bruch gar nicht definiert.)
>
> Also:
> 1.) Nur für [mm]z \not=1[/mm] ist [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] überhaupt
> definiert, und demzufolge gilt wegen obiger Überlegung
>
> 2.) Für komplexes [mm]z=x+iy \in \IC = \IR +i*\IR\,,[/mm] [mm]z \not=1[/mm]
> ist
> [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm]
> genau dann rein reell, wenn [mm]y=\text{Im}(z)=0[/mm] gilt.
Ok, und rein imaginär ist er dann, [mm] wenn1-a^{2}-b^{2}=0, [/mm] d.h [mm] a^{2}+b^{2}=1, [/mm] also wenn |z|=1 ist. Richtig?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo Mandy_90,
> > Jedenfalls:
> >
> >
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\ldots=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\cdot{}\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
> >
> > zeigt doch, dass der Bruch [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] genau dann rein
> > reell ist, wenn [mm]\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0[/mm] gilt. Und
> > [mm]\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0[/mm] gilt genau dann, wenn
> > [mm]y=0\,[/mm] gilt. (Natürlich wäre auch hier im Falle
> > [mm](1-x)^2+y^2=0\,,[/mm] der genau dann eintritt, wenn [mm]x=1\,[/mm] und
> > [mm]y=0\,[/mm] - d.h. [mm]z=1\,[/mm] - gilt, der Bruch gar nicht definiert.)
> >
> > Also:
> > 1.) Nur für [mm]z \not=1[/mm] ist [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] überhaupt
> > definiert, und demzufolge gilt wegen obiger Überlegung
> >
> > 2.) Für komplexes [mm]z=x+iy \in \IC = \IR +i*\IR\,,[/mm] [mm]z \not=1[/mm]
> > ist
> > [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm]
> > genau dann rein reell, wenn [mm]y=\text{Im}(z)=0[/mm] gilt.
>
> Ok, und rein imaginär ist er dann, [mm]wenn1-a^{2}-b^{2}=0,[/mm]
> d.h [mm]a^{2}+b^{2}=1,[/mm] also wenn |z|=1 ist. Richtig?
Ja, mit der Einschränkung, daß [mm]b \not=0[/mm] sein muss.
>
> lg
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 16.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Mandy_90,
>
> > > Jedenfalls:
> > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1+z}{1-z}=\ldots=\frac{1-x^2-y^2}{(1-x)^2+y^2}+i\cdot{}\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}\,.[/mm]
> > >
> > > zeigt doch, dass der Bruch [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] genau dann rein
> > > reell ist, wenn [mm]\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0[/mm] gilt. Und
> > > [mm]\frac{\blue{+}2y}{(1-x)^2+y^2}=0[/mm] gilt genau dann, wenn
> > > [mm]y=0\,[/mm] gilt. (Natürlich wäre auch hier im Falle
> > > [mm](1-x)^2+y^2=0\,,[/mm] der genau dann eintritt, wenn [mm]x=1\,[/mm] und
> > > [mm]y=0\,[/mm] - d.h. [mm]z=1\,[/mm] - gilt, der Bruch gar nicht definiert.)
> > >
> > > Also:
> > > 1.) Nur für [mm]z \not=1[/mm] ist [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm] überhaupt
> > > definiert, und demzufolge gilt wegen obiger Überlegung
> > >
> > > 2.) Für komplexes [mm]z=x+iy \in \IC = \IR +i*\IR\,,[/mm] [mm]z \not=1[/mm]
> > > ist
> > > [mm]\frac{1+z}{1-z}[/mm]
> > > genau dann rein reell, wenn [mm]y=\text{Im}(z)=0[/mm] gilt.
> >
> > Ok, und rein imaginär ist er dann, [mm]wenn1-a^{2}-b^{2}=0,[/mm]
> > d.h [mm]a^{2}+b^{2}=1,[/mm] also wenn |z|=1 ist. Richtig?
>
>
> Ja, mit der Einschränkung, daß [mm]b \not=0[/mm] sein muss.
war wohl wirklich schon zu spät für mich. Nur ergänzend:
Diese Einschränkung hatte sie hier schonmal erwähnt. Sie hatte es also schon richtig erkannt, es ist nur gerade verlorengegangen. 
P.S.
Wir sollten uns trotzdem mal drauf einigen, dass wir die Variablen einheitlich bezeichnen, und nicht einmal [mm] $x\,$ [/mm] und dann wieder [mm] $a\,$ [/mm] etc. schreiben. Das kann verwirrend sein. (Bei mir jedenfalls mit Sicherheit dann, wenn ich müde bin oder werde. ^^)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 16.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> P.S.
> Wir sollten uns trotzdem mal drauf einigen, dass wir die
> Variablen einheitlich bezeichnen, und nicht einmal [mm]x\,[/mm] und
> dann wieder [mm]a\,[/mm] etc. schreiben. Das kann verwirrend sein.
> (Bei mir jedenfalls mit Sicherheit dann, wenn ich müde bin
> oder werde. ^^)
Ja, das sollten wir. Ich hatte die ganze Zeit mit a und b gerechnet und dann gar nicht bedacht, dass du mit x und y gerechnet hast, hab deswegen auch a und b geschrieben =)
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 Sa 15.01.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Das ist ja ein Zufall, dass mir ausgerechnet der selbe Fehler mit dem Vorzeichen unterlaufen, daher dachte ich auch, dass deine Rechnung stimmt ^^
lg
|
|
|
|
