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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Werte. Verwenden Sie dabei den Zweig des Logarithmus im angegebenen Argumentbereich:
a) ln [mm] (2\wurzel{3}-6j) [/mm] für arg z [mm] \in [/mm] ] [mm] \bruch{-\pi}{4}, \bruch{7\pi}{4} [/mm] [
b) [mm] (-1+j)^{\bruch{5}{6}} [/mm] für arg z [mm] \in [/mm] ] [mm] \bruch{-\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2} [/mm] [
c)
i) [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] für arg z [mm] \in [/mm] ] 0, [mm] 2\pi [/mm] [
ii) [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] für ] [mm] -2\pi, [/mm] 0 [
iii) [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] für ] [mm] 2\pi, 4\pi [/mm] [ |
Hallo Zusammen,
hier meine Rechnungen:
a)
[mm] |2\wurzel{3}-6j| [/mm] = [mm] \wurzel{48} [/mm] und arg [mm] (2\wurzel{3}-6j) [/mm] = -60° = [mm] \bruch{-\pi}{3}
[/mm]
= [mm] \wurzel{48} [/mm] - [mm] j\bruch{5\pi}{3}
[/mm]
b)
[mm] (-1+j)^{\bruch{5}{6}} [/mm] = [mm] a^{b} [/mm] = [mm] e^{b * ln a}
[/mm]
= |a|= [mm] \wurzel{2}, [/mm] arg (-1) = -45° = [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{4} [/mm] + [mm] \pi [/mm] = [mm] \bruch{3\pi}{4}
[/mm]
= ln (a) = ln [mm] (\wurzel{2}) [/mm] + [mm] j\bruch{3\pi}{4}
[/mm]
= exp [mm] (\bruch{5}{6}* [/mm] (ln [mm] (\wurzel{2}) [/mm] + [mm] j\bruch{3\pi}{4}))
[/mm]
= exp [mm] (\bruch{5}{6}* [/mm] ln [mm] (\wurzel{2}) [/mm] * exp [mm] (\bruch{5}{6}* j\bruch{3\pi}{4})
[/mm]
= [mm] 2^\bruch{5}{12} [/mm] * exp [mm] (j\bruch{5\pi}{8})
[/mm]
c)
i) [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] für arg z [mm] \in [/mm] ] 0, [mm] 2\pi [/mm] [
= [mm] (-1)^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] j^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] * ln(j)
= [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] * (j [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + j [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
= [mm] e^{j\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
ii) [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] für ] [mm] -2\pi, [/mm] 0 [
= [mm] (-1)^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] j^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] * ln(j)
= [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] * (-j [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - j [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
= [mm] e^{-j\bruch{\pi}{3}}
[/mm]
iii) [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] für ] [mm] 2\pi, 4\pi [/mm] [
= [mm] (-1)^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] j^{\bruch{1}{3}} [/mm] = [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] * ln(j)
= [mm] e^{\bruch{1}{3}} [/mm] * (j [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + j [mm] \bruch{5\pi}{2})
[/mm]
= [mm] e^{j\pi} [/mm] = -1
Sind meine Rechnungen dazu richtig?
Vielen Dank im Voraus
Vg Exel84
Ps: ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!!!
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Hallo Exel84,
> Berechnen Sie folgende Werte. Verwenden Sie dabei den Zweig
> des Logarithmus im angegebenen Argumentbereich:
>
> a) ln [mm](2\wurzel{3}-6j)[/mm] für arg z [mm]\in[/mm] ]
> [mm]\bruch{-\pi}{4}, \bruch{7\pi}{4}[/mm] [
>
> b) [mm](-1+j)^{\bruch{5}{6}}[/mm] für arg z [mm]\in[/mm] ] [mm]\bruch{-\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}[/mm]
> [
>
> c)
> i) [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] für arg z [mm]\in[/mm] ] 0, [mm]2\pi[/mm] [
>
> ii) [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] für ] [mm]-2\pi,[/mm] 0 [
>
> iii) [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] für ] [mm]2\pi, 4\pi[/mm] [
> Hallo Zusammen,
>
> hier meine Rechnungen:
>
> a)
>
> [mm]|2\wurzel{3}-6j|[/mm] = [mm]\wurzel{48}[/mm] und arg [mm](2\wurzel{3}-6j)[/mm] =
> -60° = [mm]\bruch{-\pi}{3}[/mm]
>
> = [mm]\wurzel{48}[/mm] - [mm]j\bruch{5\pi}{3}[/mm]
>
Hier hat der Fehlerteufel zugeschlagen:
[mm]\wurzel{48} \blue{+} j\bruch{5\pi}{3}[/mm]
> b)
>
> [mm](-1+j)^{\bruch{5}{6}}[/mm] = [mm]a^{b}[/mm] = [mm]e^{b * ln a}[/mm]
>
> = |a|= [mm]\wurzel{2},[/mm] arg (-1) = -45° = [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] =
> [mm]-\bruch{\pi}{4}[/mm] + [mm]\pi[/mm] = [mm]\bruch{3\pi}{4}[/mm]
>
> = ln (a) = ln [mm](\wurzel{2})[/mm] + [mm]j\bruch{3\pi}{4}[/mm]
>
> = exp [mm](\bruch{5}{6}*[/mm] (ln [mm](\wurzel{2})[/mm] + [mm]j\bruch{3\pi}{4}))[/mm]
>
> = exp [mm](\bruch{5}{6}*[/mm] ln [mm](\wurzel{2})[/mm] * exp [mm](\bruch{5}{6}* j\bruch{3\pi}{4})[/mm]
>
> = [mm]2^\bruch{5}{12}[/mm] * exp [mm](j\bruch{5\pi}{8})[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> c)
>
> i) [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] für arg z [mm]\in[/mm] ] 0, [mm]2\pi[/mm] [
>
> = [mm](-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]j^{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> * ln(j)
>
> = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm] * (j [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + j [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> = [mm]e^{j\bruch{\pi}{3}}[/mm]
>
> ii) [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] für ] [mm]-2\pi,[/mm] 0 [
>
> = [mm](-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]j^{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> * ln(j)
>
> = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm] * (-j [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - j
> [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> = [mm]e^{-j\bruch{\pi}{3}}[/mm]
>
> iii) [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] für ] [mm]2\pi, 4\pi[/mm] [
>
> = [mm](-1)^{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]j^{\bruch{1}{3}}[/mm] = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm]
> * ln(j)
>
> = [mm]e^{\bruch{1}{3}}[/mm] * (j [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + j
> [mm]\bruch{5\pi}{2})[/mm]
>
> = [mm]e^{j\pi}[/mm] = -1
>
> Sind meine Rechnungen dazu richtig?
>
> Vielen Dank im Voraus
>
> Vg Exel84
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>
> Ps: ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt!!!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 10.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
hi,
erstmal vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich hätte da mal ne Frage zu a)
Warum hast du denn da ...+ [mm] j\bruch{5\pi}{3} [/mm] heraus?
vg
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Hallo Exel84,
> hi,
>
> erstmal vielen vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>
> Ich hätte da mal ne Frage zu a)
>
> Warum hast du denn da ...+ [mm]j\bruch{5\pi}{3}[/mm] heraus?
>
Der Winkel [mm]-\bruch{\pi}{3}[/mm] muss auf das
Intervall [mm]\left\\]\bruch{-\pi}{4}, \bruch{7\pi}{4} \right\[[[/mm] transferiert werden.
Das ist nur möglich, wenn [mm]2\pi[/mm] hinzuaddiert werden:
[mm]\bruch{5\pi}{3}=-\bruch{\pi}{3}+2\pi[/mm]
> vg
Gruss
MathePower
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