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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Integral
[mm] $\integral{xyz}d(x,y,z)$
[/mm]
über
[mm] $E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2} \le 1\}$, [/mm] $a,b,c [mm] \not= [/mm] 0$ |
Hmmm ich denke mal das hat mit Fubini-Tonelli zu tun. Wie fange ich denn da an? Wäre echt dankbar, für einen kleinen Denkanstoß.
Liebe Grüße
Ana-Lena
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Hallo Ana-Lena,
> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral{xyz}d(x,y,z)[/mm]
>
> über
>
> [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2} \le 1\}[/mm],
> [mm]a,b,c \not= 0[/mm]
> Hmmm ich denke mal das hat mit
> Fubini-Tonelli zu tun. Wie fange ich denn da an? Wäre echt
> dankbar, für einen kleinen Denkanstoß.
>
Zunächst ist E zu parametrisieren.
Als nächstes sind dann die Grenzen festzulegen.
Da Du E parametrisiert hast, benötigst noch die ![[]](/images/popup.gif) Funktionaldeterminante.
> Liebe Grüße
> Ana-Lena
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hmm also meine Funktion ist ja $f(x)=x*y*z$. Ich wollte gerade die Jacobi-Matrix berechnen. Aber was ist denn der Output? Also [mm] $(f_1, [/mm] ..., [mm] f_n)$?
[/mm]
Wie bekomme ich denn $E$ parametrisiert?? Oh manno...
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Achso meinst du vllt ich setze [mm] $E_x:= \{(y,z) \in \IR^2 : (x,y,z) \in E \}$? [/mm] :)
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Hallo Ana-Lena,
> Hmm also meine Funktion ist ja [mm]f(x)=x*y*z[/mm]. Ich wollte
> gerade die Jacobi-Matrix berechnen. Aber was ist denn der
> Output? Also [mm](f_1, ..., f_n)[/mm]?
>
Es ist die Jacobi-Matrix von der Parametrisierung zu berechnen.
> Wie bekomme ich denn [mm]E[/mm] parametrisiert?? Oh manno...
Hierzu kannst Du modifizierte Kugelkoordinaten verwenden.
>
> Liebe Grüße,
> Ana-Lena
Gruss
MathePower
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> Berechnen Sie das Integral
>
> [mm]\integral{xyz}\ d(x,y,z)[/mm]
>
> über
>
> [mm]E:=\{(x,y,z) \in \IR^3: \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+\bruch{z^2}{c^2} \le 1\}[/mm],
> [mm]a,b,c \not= 0[/mm]
> Hmmm ich denke mal das hat mit
> Fubini-Tonelli zu tun. Wie fange ich denn da an? Wäre echt
> dankbar, für einen kleinen Denkanstoß.
>
> Liebe Grüße
> Ana-Lena
Hallo Ana-Lena,
E ist ein (Voll-) Ellipsoid mit den Halbachsen a, b und c.
Da liegt doch die Koordinatentransformation nahe, welche
E auf die Einheits-Vollkugel abbildet. Setze also etwa
u:=x/a , v:=y/b , w:=x/c und schau dir dann das entstehende
Integral in u,v,w über die Einheitskugel im u-v-w-Raum an !
LG Al-Chw.
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Die Punktspiegelung [mm](x,y,z) \mapsto -(x,y,z)[/mm] führt das obere Halbellipsoid [mm]E^{+}[/mm] mit [mm]z \geq 0[/mm] und das untere Halbellipsoid [mm]E^{-}[/mm] mit [mm]z \leq 0[/mm] ineinander über. Dabei ändert der Integrand [mm]f(x,y,z) = xyz[/mm] sein Vorzeichen. Daher ist der Integralwert 0:
[mm]\int_E f(x,y,z) ~ \mathrm{d} (x,y,z) \ = \ \int_{E^{+}} f(x,y,z) ~ \mathrm{d} (x,y,z) \ + \ \int_{E^{-}} f(x,y,z) ~ \mathrm{d} (x,y,z) \ = \ \int_{E^{+}} f(x,y,z) ~ \mathrm{d} (x,y,z) \ - \ \int_{E^{+}} f(x,y,z) ~ \mathrm{d} (x,y,z) \ = \ 0[/mm]
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naja,
warum denn gleich alle (leicht zu entdeckenden)
Geheimnisse verraten ...
LG Al
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