kongruente matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Forum,
Ich habe eine Aufgabe,die eigentlich zu schaffen sein sollte,ich im moment aber noch keinen Ansatz habe.Also:
Für folgende Matrix gebe man eine nichtsinguläre Matrix P an derart,dass P ^t *A*P diagonal ist: [mm] A=\pmat{ 2 & 3 \\ 3 & 4 }.
[/mm]
Nichtsingulär heißt doch dass die Matrix invertierbar sein soll,hat der Ausdruck noch eine Bedeutung?Außerdem habe ich den Begriff Kongruenz noch nicht richtig verstanden,ich glaube es ist das gleiche wie Ähnlichkeit zwischen 2 Matrizen nur mit dem Unterschied dass es was mit Bilinearität zu tun hat und genau das versteh ich nicht.Ich wäre sehr dankbar wenn ihr mir das beantworten könnt.
Lieben Gruß
eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Di 16.09.2008 | | Autor: | fred97 |
1. nichtsingulär = invertierbar.
2. Zwei Matrizen A und B heißen kongruent , wenn es eine invertierbare Matrix P gibt mit A = [mm] P^{T}BP
[/mm]
3. Zwei Matrizen A und B heißen ähnlich , wenn es eine invertierbare Matrix P gibt mit A = [mm] P^{-1}BP
[/mm]
FRED
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Hallo,
Danke für deine Antwort!Also heißt das,ich muss eine Matrix finden,für die dieses gilt: [mm] D=P^t*A*P,ehrlich [/mm] gesagt weiß ich nicht genau wie ich das anstellen soll.Ich habe einfach mal die Eigenwerte berechnet,da kam aber was nicht so schönes raus [mm] (3+-\wurzel{10}) [/mm] und ich frage mich immer noch was das alles mit Bilinearität zu tun hat?
Lieben Gruß
eva marie
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Hallo
also deine Eigenwerte stimmen. Nun gibts dazu ja auch Eigenvektoren, rechne die mal aus. Die beiden Eigenvektoren sind linear unabhängig, bilden also eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm] Jetzt stell mal deine neue Basis(die aus Eigenvektoren) als Linearkombination der alten Basis(Standartbasis dar) dar(Stichwort Matrix zum Basiswechsel). So erhälst du deine gesuchte Matrix P. Diese ist Nichtsingulär, denn sie orthogonal. Damit hat sie die Determinante [mm] \pm [/mm] 1, ist also nicht Singulär.(sonst hätte sie ja Determinante=0). Das solche Matrizen existiern sagt dir das Hauptachsentheorem. Für symetrische Matrizen(und symetrisch ist sie ja) gibt es immer solche orthogonalen P.
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Hallo,
Danke für deine Antwort.Wollte erst mal sicher gehen ob die Eigenvektoren stimmen bevor ich weiter rechne,die sind nämlich ziemlich schräg!also einmal [mm] \vektor{ 2*\wurzel{10} \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{-2-\wurzel{10}\\ 4- \wurzel{10}}, [/mm] weißt du ob die stimmen?Danke!
Lieben Gruß
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Hallo,
da habe ich etwas anderes raus. Als ersten Eigenvektor bekommt man
[mm] \vektor{\bruch{3}{1+\sqrt{10}}\\ 1} [/mm] . Den zweiten Vektor musst du wohl auch noch mal berechnen.
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