konvergente folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:47 So 31.12.2017 | | Autor: | laie98 |
| Aufgabe | Seien M ⊂R nach unten beschränkt, f : M → M monoton fallend und a0 ∈ M. Wir definieren eine Folge (an)n∈N durch an := f(an−1) für n ∈N. Zeigen Sie: (a) Die Folge (an)n∈N ist konvergent.
(b) Wenn zusätzlich f stetig ist und a∞ := limn→∞an in M liegt, so gilt f(a∞) = a∞.
Nutzen Sie (a) und (b) um zu zeigen, dass für M = [1,∞), f(x) = √x (x ∈ M) und a0 ≥ 1 die Folge (an)n∈N, gegeben durch an := f(an−1) (n ∈N), konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert? |
Hallo ich bin neu hier.
eigentlich ist doch easy dass die folge konvergent ist weil dass die beschränkt ist und monoton fällt reicht ja dafür aus das zu zeigen nur wie führt man den beweis weil ja die funktion innerhalb der folge diese eigenschaften hat?
weiter verstehe ich auch nicht ganz dieses f(an-1), weil die funktion ist ja die wurzelfunktion aber wieso an-1? Könnte mir jemand die ersten paar werte von der folge vielleith geben dann wäre mir schon sehr geholfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 So 31.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> weiter verstehe ich auch nicht ganz dieses f(an-1), weil
> die funktion ist ja die wurzelfunktion aber wieso an-1?
Offensichtlich handelt es sich um eine Rekursion. Woher hast du das mit der Wurzelfunktion?
Es macht den Eindruck, als ob du nicht die komplette Aufgabenstellung wiedergegegebn hättest. Könntest du das noch überprüfen?
Beim zweiten Lesen habe ich es kapiert. Die Aufgabenstellung ist vollständig, die Darstellung jedoch ausbaufähig.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 So 31.12.2017 | | Autor: | laie98 |
[mm] f(x)=\wurzel[2]{x} [/mm] ist die aufgabe im letzten teil, die hat aber keine nummer steht aber unter teil a und b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:47 So 31.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> [mm]f(x)=\wurzel[2]{x}[/mm] ist die aufgabe im letzten teil, die hat
> aber keine nummer steht aber unter teil a und b
Das habe ich jetzt verstanden. Soll die Definition der Folge heißen
i): [mm]a_n:=f\left ( a_{n-1} \right )[/mm]
oder
ii): [mm]a_n:=f\left(a_n-1\right)[/mm]
?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 So 31.12.2017 | | Autor: | laie98 |
Oh ich hab das etwas undeutlich geschrieben mmmhh...
das soll wie i bei dir heißen also $ [mm] a_n:=f\left ( a_{n-1} \right [/mm] ) $
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Hallo,
> Seien M ⊂R nach unten beschränkt, f : M → M monoton
> fallend
Das ergibt für mich keinen Sinn. Meine weitere Antwort erfolgt unter der Annahme, dass du dich hier geirrt hast und in Wirklichkeit etwas gefordert ist wie: f ist monoton wachsend und eine Kontraktion.
(Das könnte auch über die Lipschitz-Bedingung formuliert sein. Auch will ich nicht ausschließen, dass es weitere Möglichkeiten gibt, die Aufgabe zu reparieren, aber mir fällt im Moment nichts besseres ein)
> und a0 ∈ M. Wir definieren eine Folge (an)n∈N
> durch an := f(an−1) für n ∈N. Zeigen Sie: (a) Die
> Folge (an)n∈N ist konvergent.
> (b) Wenn zusätzlich f stetig ist und a∞ := limn→∞an
> in M liegt, so gilt f(a∞) = a∞.
>
> Nutzen Sie (a) und (b) um zu zeigen, dass für M = [1,∞),
> f(x) = √x (x ∈ M) und a0 ≥ 1 die Folge (an)n∈N,
> gegeben durch an := f(an−1) (n ∈N), konvergiert. Wie
> lautet ihr Grenzwert?
> eigentlich ist doch easy dass die folge konvergent ist weil
> dass die beschränkt ist und monoton fällt reicht ja
> dafür aus das zu zeigen nur wie führt man den beweis weil
> ja die funktion innerhalb der folge diese eigenschaften
> hat?
Mit der Konvergenz bist du schon einmal auf dem richtigen Weg. Das muss man aber schon noch begründen, denn du musst hier noch zeigen, dass aus der Monotonieeigenschaft von f (wachsend) den geforderten Eigenschaften der Funktion f folgt, dass [mm] a_n [/mm] monoton fällt.
> weiter verstehe ich auch nicht ganz dieses f(an-1), weil
> die funktion ist ja die wurzelfunktion aber wieso an-1?
Das hast du völlig falsch verstanden. Im ersten Teil werden alle Funktionen f: [mm] M\to{M} [/mm] mit den gefordrten Eigenschaften betrachtet. Die Wurzelfunktion kommt erst nachher als Beispiel ins Spiel.
Ich gehe mal davon aus, dass die Folge so definiert ist:
[mm]a_0\in{M}\ ;\ a_n:=f\left(a_{n-1}\right)[/mm]
Jetzt musst du das zunächst verstehen und dann damit begründen, weshalb die Folge [mm] a_n [/mm] monoton fällt.
Für den Teil b) benötigt man so wie er formuliert ist streng genommen das Epsilon-Delta-Kriterium, also die Definition der Stetigkeit von Funktionen.
> Könnte mir jemand die ersten paar werte von der folge
> vielleith geben dann wäre mir schon sehr geholfen
Von welcher Folge sprichst du hier? Auch in dem Beispiel ist keine konkrete Folge gegeben, da kein fester Startwert vorgegeben ist.
Das Beispiel [mm] f(x)=\sqrt{x} [/mm] ist ein weiterer Hinweis darauf, dass schon in der ursprünglichen Aufgabenstellung unter anderem f monoton wachsend und eben nicht fallend gefordert wird.
Nehmen wir [mm] a_0=2 [/mm] und [mm] a_n:=\sqrt{a_{n-1}}. [/mm] Dann aben wir
[mm]\left(a_n\right):=2; \sqrt{2}; \sqrt[4]{2}; \sqrt[8]{2}; \sqrt[16]{2}; \ldots[/mm]
Für weitere Rückfragen würde ich dich um mehr Sorgfalt sowohl in der sprachlichen Ausformulierung als auch bei der Verwendung mathematischer Symbolik bitten.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
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> > Seien M ⊂R nach unten beschränkt, f : M → M monoton
> > fallend
>
> Das ergibt für mich keinen Sinn. Meine weitere Antwort
> erfolgt unter der Annahme, dass du dich hier geirrt hast
> und f monoton wachsend gefordert ist.
>
> > und a0 ∈ M. Wir definieren eine Folge (an)n∈N
> > durch an := f(an−1) für n ∈N. Zeigen Sie: (a) Die
> > Folge (an)n∈N ist konvergent.
Hallo,
aber mit "f monoton wachsend" paßt das doch ebensowenig:
nehmen wir [mm] M:=\IR^+,
[/mm]
[mm] f:M\to [/mm] M
f(x):=2x,
[mm] a_0:=5.
[/mm]
Dann bekommen wir
[mm] a_1=f(5)=10
[/mm]
[mm] a_2=f(10)=20
[/mm]
[mm] \vdots,
[/mm]
also keine konvergente Folge.
Mit "f monoton fallend" paßt es aber auch nicht:
M wie oben,
[mm] f(x):=\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] a_0=5
[/mm]
[mm] a_1=f(5)=\bruch{1}{5}
[/mm]
[mm] a_2=f(\bruch{1}{5})=5
[/mm]
[mm] \vdots,
[/mm]
nicht konvergent.
Oder mißverstehe ich gerade etwas gründlich?
LG Angela
> > (b) Wenn zusätzlich f stetig ist und a∞ :=
> limn→∞an
> > in M liegt, so gilt f(a∞) = a∞.
> >
> > Nutzen Sie (a) und (b) um zu zeigen, dass für M =
> [1,∞),
> > f(x) = √x (x ∈ M) und a0 ≥ 1 die Folge (an)n∈N,
> > gegeben durch an := f(an−1) (n ∈N), konvergiert.
> Wie
> > lautet ihr Grenzwert?
>
>
> > eigentlich ist doch easy dass die folge konvergent ist
> weil
> > dass die beschränkt ist und monoton fällt reicht ja
> > dafür aus das zu zeigen nur wie führt man den beweis
> weil
> > ja die funktion innerhalb der folge diese eigenschaften
> > hat?
>
> Mit der Konvergenz bist du schon einmal auf dem richtigen
> Weg. Das muss man aber schon noch begründen, denn du musst
> hier noch zeigen, dass aus der Monotonieeigenschaft von f
> (wachsend) folgt, dass [mm]a_n[/mm] monoton fällt.
>
> > weiter verstehe ich auch nicht ganz dieses f(an-1), weil
> > die funktion ist ja die wurzelfunktion aber wieso an-1?
>
> Das hast du völlig falsch verstanden. Im ersten Teil
> werden alle monoton steigenden Funktionen f: [mm]M\to{M}[/mm]
> betrachtet. Die Wurzelfunktion kommt erst nachher als
> Beispiel ins Spiel.
>
> Ich gehe mal davon aus, dass die Folge so definiert ist:
>
> [mm]a_0\in{M}\ ;\ a_n:=f\left(a_{n-1}\right)[/mm]
>
> Jetzt musst du das zunächst verstehen und dann damit
> begründen, weshalb die Folge [mm]a_n[/mm] monoton fällt.
>
> Für den Teil b) benötigt man so wie er formuliert ist
> streng genommen das Epsilon-Delta-Kriterium, also die
> Definition der Stetigkeit von Funktionen.
>
> > Könnte mir jemand die ersten paar werte von der folge
> > vielleith geben dann wäre mir schon sehr geholfen
>
> Von welcher Folge sprichst du hier? Auch in dem Beispiel
> ist keine konkrete Folge gegeben, da kein fester Startwert
> vorgegeben ist.
>
> Das Beispiel [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] ist ein weiterer Hinweis darauf,
> dass schon in der ursprünglichen Aufgabenstellung f
> monoton wachsend und eben nicht fallend gefordert wird.
>
> Nehmen wir [mm]a_0=2[/mm] und [mm]a_n:=\sqrt{a_{n-1}}.[/mm] Dann aben wir
>
> [mm]\left(a_n\right):=2; \sqrt{2}; \sqrt[4]{2}; \sqrt[8]{2}; \sqrt[16]{2}; \ldots[/mm]
>
> Für weitere Rückfragen würde ich dich um mehr Sorgfalt
> sowohl in der sprachlichen Ausformulierung als auch bei der
> Verwendung mathematischer Symbolik bitten.
>
>
> Gruß, Diophant
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:10 So 31.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Leider funktioniert der neue Formel-Editor derzeit nicht durchgehend, d.h., ich kann nicht zitieren.
Mir ist es jetzt auch klar geworden, dass ich auch mit meiner Umdeutung die Aufgabenstellung nicht reparieren kann. Ich werde meine Antwort so anpassen, dass sie stimmt und ansonsten sollte sich der Themenstarter darum kümmern, die richtige Aufgabenstellung anzugeben (sofern er an weiterer Hilfestellung interessiert ist).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 So 31.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Seien M ⊂R nach unten beschränkt, f : M → M monoton
> fallend und a0 ∈ M. Wir definieren eine Folge (an)n∈N
> durch an := f(an−1) für n ∈N.
Das lautet wohl [mm] a_n=f(a_{n-1}).
[/mm]
> Zeigen Sie: (a) Die
> Folge (an)n∈N ist konvergent.
Das stimmt aber nicht. Gegenbeispiel [mm] :$M=(0,\infty)$, f(x)=\frac{1}{x} [/mm] und [mm] a_0=2.
[/mm]
Dann ist [mm] a_1=f(2)=\frac{1}{2}, a_2=2, a_3=\frac{1}{2},...., [/mm] also
[mm] (a_n)=(2,\frac{1}{2},2, \frac{1}{2},... [/mm] ).
Diese Folge ist divergent !
Lautet die Aufgabe wirklich so ?
> (b) Wenn zusätzlich f stetig ist und a∞ := limn→∞an
> in M liegt, so gilt f(a∞) = a∞.
>
> Nutzen Sie (a) und (b) um zu zeigen, dass für M = [1,∞),
> f(x) = √x (x ∈ M) und a0 ≥ 1 die Folge (an)n∈N,
> gegeben durch an := f(an−1) (n ∈N), konvergiert. Wie
> lautet ihr Grenzwert?
> Hallo ich bin neu hier.
>
> eigentlich ist doch easy dass die folge konvergent ist weil
> dass die beschränkt ist und monoton fällt reicht ja
> dafür aus das zu zeigen nur wie führt man den beweis weil
> ja die funktion innerhalb der folge diese eigenschaften
> hat?
>
> weiter verstehe ich auch nicht ganz dieses f(an-1), weil
> die funktion ist ja die wurzelfunktion aber wieso an-1?
> Könnte mir jemand die ersten paar werte von der folge
> vielleith geben dann wäre mir schon sehr geholfen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 So 31.12.2017 | | Autor: | laie98 |
es ist super das ihr euch so viel mühe mit eurer antwort gebt, aber ich bin die aufgabe nochmal wort für wort durchgegangen aber ich habe sie exakt so wieddergegeben wie ich sie erhalten habe, ich weiß auch nicht woran das liegt? naja trotzdem schonmal danke vielleicht fällt ja doch noch einem was ein. hier nochmal die aufgabe
Seien M ⊂R nach unten beschränkt, f : M → M monoton fallend und a0 ∈ M. Wir definieren eine Folge (an)n∈N durch $ [mm] a_n:=f\left ( a_{n-1} \right [/mm] ) $ für n ∈N. Zeigen Sie:
(a) Die Folge (an)n∈N ist konvergent.
(b) Wenn zusätzlich f stetig ist und a∞ := limn→∞an in M liegt, so gilt f(a∞) = a∞.
Nutzen Sie (a) und (b) um zu zeigen, dass für M = [1,∞), f(x) = √x (x ∈ M) und a0 ≥ 1 die Folge (an)n∈N, gegeben durch $ [mm] a_n:=f\left ( a_{n-1} \right [/mm] ) $ (n ∈N), konvergiert. Wie lautet ihr Grenzwert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 So 31.12.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
lies dir die Miteilung von angela.h.b. durch. Dort ist ein Gegenbeispiel angegeben, welches zeigt, dass diese Aufgabenstellung unsinnig ist.
(Leider kann ich momentan nicht zitieren, die Forensoftware spinnt mal wieder...)
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 So 31.12.2017 | | Autor: | Herby |
Hallo Diophant,
>
> (Leider kann ich momentan nicht zitieren, die Forensoftware
> spinnt mal wieder...)
>
ich kann keinen Fehler feststellen - die Zitierfunktion funktioniert bei mir in beiden Modi.
Viele Grüße
Herby
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