konvergenz nachweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Mo 11.07.2011 | | Autor: | konvex |
Hallo, ich glaub ich steh grad aufm schlauch....
ich will die konvergenz/divergenz von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n!x^n
[/mm]
nachweisen. x liegt dabei in [0,1].
dachte dabei an quotientenkriterium, aber dann brauch ich doch auch die konvergenz der folge [mm] n!x^n.
[/mm]
aber ich weiß nicht wie ich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n!x^n
[/mm]
berechne (unter beachtung [mm] x\in[0,1]), [/mm] weil n! geht ja gegen unendlich und [mm] x^n [/mm] gegen 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich glaub ich steh grad aufm schlauch....
> ich will die konvergenz/divergenz von
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} n!x^n[/mm]
>
> nachweisen. x liegt dabei in [0,1].
>
> dachte dabei an quotientenkriterium, aber dann brauch ich
> doch auch die konvergenz der folge [mm]n!x^n.[/mm]
>
> aber ich weiß nicht wie ich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n!x^n[/mm]
> berechne (unter
> beachtung [mm]x\in[0,1]),[/mm] weil n! geht ja gegen unendlich und
> [mm]x^n[/mm] gegen 0.
Ist x =0 , so ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n!x^n [/mm] $ trivialerweise konvergent.
Für x [mm] \ne [/mm] 0 bemühe das Quotientenkriterium, um zu sehen, dass die Reihe divergiert.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Mo 11.07.2011 | | Autor: | konvex |
Aber mittels quotientenkriteium ist doch
[mm] a_n=n!x^n
[/mm]
[mm] \bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{n!x^n}{(n+1)!x^{n+1}} [/mm]
= [mm] \bruch{n!}{(n+1)!x} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n!(n+1)x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(n+1)x}
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] 0 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
da (n+1)!=n!(n+1)
dann komme ich ja auf konvergenz der reihe....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 11.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Aber mittels quotientenkriteium ist doch
>
> [mm]a_n=n!x^n[/mm]
>
> [mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm] = [mm]\bruch{n!x^n}{(n+1)!x^{n+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{n!}{(n+1)!x}[/mm] = [mm]\bruch{n!}{n!(n+1)x}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{(n+1)x}[/mm]
> [mm]\rightarrow[/mm] 0 für [mm]n\rightarrow\infty[/mm]
>
> da (n+1)!=n!(n+1)
>
> dann komme ich ja auf konvergenz der reihe....
Du machst jetzt folgendes: Du schlägst nochmal nach, wie das Quotientenkriterium geht.
FRED
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