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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 21.03.2006 | | Autor: | ohsti |
| Aufgabe | Lockomotive mit einem großen Rad und einem kleinen Rad. Umfang des großen Rades ist um 236 cm größer als der des kleinen Rades.
Bei einer Strecke von 3,665 KM dreht sich das kleinere Rad 500 mal öfter als das große Rad.Berechnen Sie den Durchmesser der Räder. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
welchen Ansatz kann ich da machen.
Ich habe 2*pi*r für den Kreisumfang. Es muss gelten
x=(2*pi*r)Kleines Rad(Kreisumfang)
y=(2*pi*r)Großes Rad(Kreisumfang)
y=x+236cm; 1. Gleichung
Man kann doch sagen, daß
500*236cm=1180m
damit dreht sich das große Rad bei 3665m gleich oft als das kleine bei 3665m-1180m?
Ich komme nicht auf einen brauchbaren Ansatz.
Bin um jeden Tipp dankbar.
cu,
ohsti
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Hallo ohsti,
Ich fand Deine Überlegungen zum Ansatz ganz gut!
Die Formel [mm] $U_{Kreis}=2* \pi [/mm] * r$ ist auch richtig.
Was ist nun bekannt?
Das kleine Rad ist 263 cm kleiner als das große Rad
[mm] \Longrightarrow [/mm] wenn also x der Umfang des kleinen Rades ist so ist der Umfang des großen Rades x+236cm.
Ferner ist gegeben dass sich das kleine Rad genau 501 mal so oft dreht wie das große.
Die Anzahl n der Umdrehungen eines Rades mit Umfang U auf der Strecke s ist
[mm] $n=\frac{s}{u}$
[/mm]
Zusammen mit obiger Bedingung ergibt sich also:
[mm] $\frac{3,665Km}{x}=\frac{3,665Km}{x+236cm}\*501$ [/mm]
(nartürlich muss die 501 auf die rechte Seite, vielen Dank!)
Noch alles klar?
Dieser Term ist duch Äquivalenzumformungen nach x aufzulößen so dass dann dasteht $x=...$
Dann muss man sich fragen, als was x definiert war, nämlich der Umfang des kleinen Rades.
Somit kann man dann den Durchmesser ausrechnen (nach der Formel des Kreisumfangs):
[mm] $d_{kl. Rad}=\frac{x}{\pi}$ [/mm] und [mm] $d_{gr. Rad}=\frac{x+236cm}{\pi}$
[/mm]
Ich wünsche Dir viel Spaß beim Rechnen, wenn Du noch Fragen hast dann frag ruhig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Mi 22.03.2006 | | Autor: | ohsti |
Vielen Dank für die Hilfe.
Warum 501 mal und nicht 500, ich weiß doch nicht, ob sich das große Rad nur 1 mal dreht, das hab ich noch nicht ganz verstanden.
cu,
ohsti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Ohsti,
das, was der Nachtwächter geschrieben hat, ist leider falsch!
Das kleine Rad dreht sich nicht 501 mal so oft wie das große, sondern 500 mal öfter. Wenn du seine Formel benutzt, erhältst du ein negatives $x$.
Ich würde anders vorgehen:
Sei mal $u$ der Umfang des kleinen Rades. Dann wissen wir, $u+236$ ist der Umfang des großen Rades.
Wenn die Lokomotive $366500\ cm$ fährt, dreht sich das große Rad $t$-mal und das kleine Rad $t+500$ mal. Stellen wir die Gleichungen auf:
(1) [mm] $(u+236)\cdot [/mm] t=366500$ und (2) [mm] $u\cdot(t+500)=366500$.
[/mm]
Die Variable $t$ können wir nicht gebrauchen - wir schmeißen sie raus, indem wir beide Gleichungen nach $t$ auflösen und gleichsetzen:
(1) [mm] $(u+236)\cdot t=366500\gdw t=\bruch{366500}{u+236}$ [/mm] und
(2) [mm] $u\cdot(t+500)=366500\gdw u\cdot t+500u=366500\gdw u\cdot t=366500-500u\gdw t=\bruch{366500-500u}{u}$.
[/mm]
Zusammen erhalten wir [mm] $\bruch{366500}{u+236}=\bruch{366500-500u}{u}$.
[/mm]
Wenn du das nach $u$ auflöst, müsstest du auf eine quadratische Gleichung mit einer positiven Lösung kommen: [mm] $u\approx314,3\ [/mm] cm$.
Das kleine Rad hat also einen Durchmesser von ungefähr einem Meter!
Viel "Spaß" beim Nachrechnen! Und wenn dir noch etwas unklar ist, dann frag' bitte nochmal nach, ok?
MFG,
Yuma
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Hallo Yuma,
Ich erlaube mir mal eine (pingelige) Ergänzung.
> Das kleine Rad dreht sich nicht 501 mal so oft wie das
> große, sondern 500 mal öfter. Wenn du seine Formel benutzt,
> erhältst du ein negatives [mm]x[/mm].
Da das physikalisch möglich ist sollte trotzdem ein pos. x rauskommen. Laut Rechnung dreht sich das große Rad 501 mal so oft wie das kleine.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:02 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Christian, hallo Ohsti,
> Da das physikalisch möglich ist sollte trotzdem ein pos. x
> rauskommen. Laut Rechnung dreht sich das große Rad 501 mal
> so oft wie das kleine.
Das ist richtig, Nachtwächter hat die Gleichung falsch aufgestellt:
Wenn sich das kleine Rad wirklich 501mal so oft drehen soll wie das große (was in der Aufgabe aber ohnehin nicht der Fall ist), müsste die Gleichung so aussehen:
[mm] $\frac{366500}{x}=\frac{366500}{x+236}\cdot [/mm] 501 $.
Diese Gleichung hat eine positive Lösung, was aber trotzdem nicht die richtige Lösung der Aufgabe ist.
Bei ihm tauchen die [mm] $\cdot [/mm] \ 501$ auf der linken Seite der Gleichung auf, d.h. -wie du schon richtig sagtest- bei ihm dreht sich das große Rad 501mal so oft wie das kleine - und dafür kann es natürlich keine positive Lösung geben.
MFG,
Yuma
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:47 Mo 27.03.2006 | | Autor: | ohsti |
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo Yuma,
ich muss ganz ehrlich sagen ich verstehe nicht ganz, warum der Ansatz (mit der 501 auf der richtigen Seite) nicht zum Aufgabentext passen sollte.
Meiner meinung nach sind die Aussagen "Das Rad dreht sich 500x öfter" und "Das Rad dreht sich 501x so oft" äquivalent.
Dies lässt sich zeigen:
sei die umdrehung des Rades n so ist "500x öfter"
$n+n*500 [mm] \Leftrightarrow n*(1+500)\Leftrightarrow501*n$ [/mm] (qed.)
Wo liegt dann also das Problem? bzw. Warum soll dann "500x öfter" nicht "501x so oft" entsprechen?
Mit vielen mathematischen Grüßen
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Hallo Nachtwächter,
> ich muss ganz ehrlich sagen ich verstehe nicht ganz, warum
> der Ansatz (mit der 501 auf der richtigen Seite) nicht zum
> Aufgabentext passen sollte.
> Meiner meinung nach sind die Aussagen "Das Rad dreht sich
> 500x öfter" und "Das Rad dreht sich 501x so oft"
> äquivalent.
>
> Dies lässt sich zeigen:
> sei die umdrehung des Rades n so ist "500x öfter"
> [mm]n+n*500 \Leftrightarrow n*(1+500)\Leftrightarrow501*n[/mm]
> (qed.)
Yuma hat die "500x öfter" offenbar als n+500 interpretiert. Sprachlich bin ich mir hier weniger sicher was "richtig" ist. Der Blick auf die Ergebnisse (0,5 cm und 0,3 m) läßt allerdings vermuten das n+500 gemeint war. Eine Lokomotive mit einem 501 mal größeren Rad sieht doch irgendwie komisch aus 
viele Grüße
mathemaduenn
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deines Vorschlages finde ich sehr überzeugend...
