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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:03 Do 22.07.2004 | | Autor: | magister |
hallo helfende
[mm] frage_1: [/mm]
Geg.: eine parabel 3. ordnung p3(x) = x³-4x mit drei Nullstellen N1, N2,N3. die nullstellen sind von links nach rechts durchnummeriert
eine parabel 2. ordnung p2(x) = ax² + bx + c hat die nullstellen N1 und N3 gemeinsam mit der parabel p3 und den scheitel S(x/25)
Ges.: a) stell die funktionsgleichung von p2 auf und zeige, dass im intervall
[XN1; XN2]gilt: funktionswerte der parabel p2 > funktionswerte
von p3.
b) bestimmt den schnittpunkt der wendetangente aus a) mit der
parabel p2
c) die wendetangente zerschneidet die fläche zwischen p2 und p3 im
bereich zwischen N1 und N3 in zwei Teile. berechne diese beiden
teilflächen
Mein Ansatz:
ad a) N1 (-2/0) und N3(2/0)
wir haben hier drei unbekannte und daher brauch i 3 gleichungen
die erste ist ich nehme die erste nullstelle her 4a - 2b + c = 0
die zweite ist die zweite nullstelle 4a + 2b + c = 0
die dritte kriege ich irgendwie mit dem Scheitel, aber mir is ned ganz klar wie?? bitte hilfe
ad b und c) is missing :-(
bitte helft mir, danke
lg magister
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:29 Do 22.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Magister.
Ich denke, dass die Produktform das richtige für diese Aufgabe wäre.
Aber vorher noch eine Frage. Du meinst doch folgendes:
P3 hat die gleichen Nullstellen wie P2
P2 hat den Scheitel bei Punkt S(x|25)
Dann würde ich da so rangehen:
a.)
Da die Nullstellen -2 und 2 lauten, lässt sich deine Parabel 2. Grades als
[mm]p2(x)=a(x+2)(x-2)[/mm]
darstellen. Dann folgt:
[mm]p2'(x)=a(x-2+x+2)=2\cdot x\cdot a[/mm]
Wir suchen den Scheitel, an dem die Tangente eine Parallele zur X-Achse darstellt:
[mm]2\cdot x\cdot a=0\ \gdw\ x=0[/mm]
Wir wissen, dass der Scheitel die Y-Koordinate 25 besitzt. Daher muss gelten:
[mm]a(0-2)(0+2)=-4\cdot a=25\ \gdw\ a=-\frac{25}{4}=-6.25[/mm]
Daher lautet die Funktionsgleichung:
[mm]p3(x)=-6.25(x-2)(x+2)=-6.25(x^2-4)=-6.25x^2+25[/mm]
Diese Funktion hat ihren Scheitel an dem Punkt S(0|25) und ihre Nullstellen an -2 und 2. Damit sind die Bedingungen erfüllt.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Do 22.07.2004 | | Autor: | magister |
Nein, die prabel 2. ordnung hat die nullstellen N1 und N3 wie die parabel dritter ordnung und dem scheitel S(x/25)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 22.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Magister.
p2 hat den Scheitel an Punkt (x|25), sehe ich das richtig?
Kannst dir ja mal meine Antwort durchlesen und schauen, ob ich es richtig verstanden habe.
Gruß,
Hanno
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okay, sorry, war wohl etwas voreilig.
hattest eh recht. p2 hat den scheitel...
und p3 hat die selben nullstellen wie p2, abgesehen davon, dass p2 nicht die nullstelle N2 wie p2 hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Do 22.07.2004 | | Autor: | magister |
okay, i denk, des haut hin. vielen vielen dank.
nur bei punkt a) den du freundlicherweise auch beantwortest hast, bin ich ein bissi verwirrt. bist du sicher, dass die parabel deine form hat, da in der angabe steht, sie hat ax² + bx + c
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Do 22.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Magister.
Ja, ich bin sicher. Diese Darstellungform nennt man die Produktform eines Polynoms/ einer Parabel. Sie lautet
[mm]a(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)[/mm]
wobei [mm]x_1,...,x_n[/mm] die Nullstellen des Polynoms sind.
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:40 Do 22.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi nochmals.
Nun zu b und c.)
Bestimmen der Wendetangente von [mm]p3(x)=x^3-4\cdot x[/mm].
[mm]p3'(x)=3\cdot x^2-4[/mm]
[mm]p3''(x)=6\cdot x[/mm]
[mm]p3'''(x)=6[/mm]
Gleichsetzen der 2. Ableitung mit 0:
[mm]p3''(x)=6\cdot x=0\ \gdw\ x=0[/mm]
Da die dritte Ableitung [mm]\not= 0[/mm] ist, ist ein Wendepunkt gefunden.
Setzen wir [mm]x=0[/mm] in die Funktionsgleichung ein, sehen wir, dass der Wendepunkt im Ursprung liegt. Die Funktionsgleichung der Tangente besteht also lediglich aus ihrer Steigung multipliziert mit x und wir brauchen uns um Achsneschnittpunkte keine Sorgen mehr zu machen. Die Steigung erhslten wir über die 1. Ableitung:
[mm]p'(0)=-4[/mm]
Die Tangentengleichung lautet also:
[mm]t(x)=-4\cdot x[/mm]
Dies setzen wir mit [mm]p2(x)=-6.25\cdot x^2+25[/mm] gleich:
[mm]-6.25\cdot x^2+25=-4\cdot x[/mm]
[mm]-6.25\cdot x^2+4\cdot x+25=0[/mm]
[mm]x^2-\frac{4}{6.25}\cdot x-4=0[/mm]
PQ-Formel:
[mm]x_{1/2}=\frac{4}{13}\pm \sqrt{\frac{16}{169}+4}[/mm]
[mm]x_1\approx -1.7[/mm]
[mm]x_2\approx 2.3[/mm]
So, bevor ich jetzt (c) mache.
Wo hapert es bei dir? Eigene Lösungsansätze?
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 22.07.2004 | | Autor: | magister |
bei c) hab i gar nix, da kenn i mi ned aus, leider :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Do 22.07.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Magister.
Wieso mussz du das denn machen, wenn du nichts von Integralrechnung weißt?
Naja, ich rechne es dir mal vor, für den einen Flächeninhalt links des Nullpunktes:
Er ist die Differenz der Flächeninhaltes der Parabel p2 und dem von p3 im Bereich [-2;0]
Dies schreibt sich wie folgt:
[mm]F_1= \integral_{-2}^{0} {(-6.25\cdot x^2+25) dx}- \integral_{-2}^{0} {(x^3-4\cdot x) dx}[/mm]
Da [mm]\integral{(-6.25\cdot x^2+25) dx}=-\frac{6.25}{3}\cdot x^3+25\cdot x[/mm]
und [mm] \integral{(x^3-4\cdot x) dx}=\frac{1}{4}\cdot x^4-2\cdot x^2[/mm], gilt:
[mm]F_1= \integral_{-2}^{0} {(-6.25\cdot x^2+25) dx}- \integral_{-2}^{0} {(x^3-4\cdot x) dx}=[-\frac{6.25}{3}\cdot x^3+25\cdot x]_{-2}^{0}-[\frac{1}{4}\cdot x^4-2\cdot x^2]_{-2}^0[/mm]
Rechnest du dies aus, so erhältst du
[mm]F_1\approx 29[/mm]
Kriegst du den Bereich von 0 bis 2 jetzt alleine hin?
Gruß,
Hanno
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:07 Do 22.07.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo magister!
Soweit ich es überblicke ist die Aufgabe ja bis auf den letzten Teil gelöst.
Für Aufgabenteil a) wollte ich noch einen alternativen Lösungsweg vorschlagen, der ohne die Tangentengleichung einer Parabel auskommt:
> Geg.: eine parabel 3. ordnung p3(x) = x³-4x mit drei
> Nullstellen N1, N2,N3. die nullstellen sind von links nach
> rechts durchnummeriert
> eine parabel 2. ordnung p2(x) = ax² + bx + c hat die
> nullstellen N1 und N3 gemeinsam mit der parabel p3 und den
> scheitel S(x/25)
>
> Ges.: a) stell die funktionsgleichung von p2 auf und zeige,
> dass im intervall
> [XN1; XN2]gilt: funktionswerte der parabel p2 >
> funktionswerte
> von p3.
> ad a) N1 (-2/0) und N3(2/0)
> wir haben hier drei unbekannte und daher brauch i 3
> gleichungen
> die erste ist ich nehme die erste nullstelle her 4a - 2b +
> c = 0
> die zweite ist die zweite nullstelle 4a + 2b + c = 0
> die dritte kriege ich irgendwie mit dem Scheitel, aber mir
> is ned ganz klar wie?? bitte hilfe
Da für [mm] p_2 [/mm] ja auch vom Scheitelpunkt die Rede ist, bietet sich hier auch die Scheitelpunktsforum der Parabeln als Ansatz an:
[mm] $p_2(x)=a(x-d)^2+e$
[/mm]
Als Nullstellen hatten wir bereits [mm] N_1(-2|0) [/mm] und [mm] N_3(2|0) [/mm] gefunden -- der Scheitelpunkt liegt aus Symmetriegründen zwischen den Nullstellen, also bei d=0. Insgesamt: $S(0|25)$.
Dies in die Scheitelpunktsform eingesetzt ergibt:
[mm] $p_2(x)=ax^2+25$
[/mm]
Das a wird durch eine Nullstelle festgelegt, setzen wir also einfach eine ein:
[mm] $0=a*2^2+25$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] 4a=-25$
[mm] $\gdw\ a=-\bruch{25}{4}$
[/mm]
Die gesuchte Parabel hat also die Scheitelpunktsform [mm] $p_2(x)=-\bruch{25}{4}*x^2+25$.
[/mm]
Zufälligerweise ist diese Funktionsgleichung auch zugleich in der gewünschten allgemeinen Normalform [mm] $p_2(x)=ax^2+bx+c$, [/mm] man setze einfach [mm] $a=-\bruch{25}{4}$, [/mm] $b=0$ und $c=25$. (Wäre unsere Funktionsgleichung noch nicht in allgemeiner Normalform, könnte man sie durch simples Ausmultiplizieren/Auflösen der Klammer aus der Scheitelpunktsform gewinnen.)
Viele Grüße,
Marc
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