kurvendiskussion sehr schwer < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo zusammen!
wir sollen eine Kurvendiskussion für die funktion des logistischen wachstums angehen!
die FUnktion lautet: [mm] \bruch{K}{(\bruch{K}{P}-1)* e^{-aKt}+1}
[/mm]
die zwei ableitungen hab ich bereits gebildet ( Sehr aufwendig sag ich euch)!
aber ich stecke schon bei den nullstellen fest.
für p [mm] \not=0 [/mm] und k>0 komme ich an dieser stelle nicht weiter:
-akt= ln [mm] \bruch{-1}{\bruch{K}{P}-1}
[/mm]
muß ich dann eine weitere fallunterscheidung machen, denn wenn K/P [mm] \ge [/mm] 1 ist ist der log nicht definiert und wenns kleiner als eins aber größer als null ist, was ist dann?? oh man diese aufgabe schafft mich! vielleicht hat ja jemand einen literaturtipp wo lösungshinweise zu dieser aufgabe stehen könnten! oder weiß wie ich bei den genzwerten weiterkomme!
gruß
superkermit
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo superkermit!
Dein Namensgeber hat übrigens heute seinen 50.ten ![[happybirthday]](/images/smileys/happybirthday.gif "[happybirthday]") !
Nun zu Deiner Aufgabe ...
Es wäre vielleicht sehr hilfreich, wenn Du uns verraten würdest, welches Deine Variablen sind (oder sind das alle 3 Werte $K_$, $P_$ $a_$ und $t_$ ?) ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
also ich die funktion selbst hängt von t ( zeit) ab, K soll die kapazität sein, P die population zum zeitpunkt null und was a sein soll ist nicht näher erwähnt! Um es nochmal ganz deutlich zu sagen es geht um eine funktion P(t)! ich soll nicht nach K und P ableiten, das wäre ja noch schöner!gruß
superkermit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 05.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo superkermit!
Mal zu den Nullstellen ...
Hier müssen wir ja die Funktionsgleichung gleich Null setzen $P(t) \ = \ 0$ und erhalten:
[mm] $\bruch{K}{\left(\bruch{K}{P}-1\right)* e^{-aKt}+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{K*P}{\left(K-P\right)*e^{-aKt}+P} [/mm] \ = \ 0$
Ein Bruch ist genau dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Wir erhalten hier also: $K*P \ = \ 0$
Für [mm] $K\not=0$ [/mm] und [mm] $P\not=0$ [/mm] gibt es also keine Nullstellen für diese Funktion.
> für p [mm]\not=0[/mm] und k>0 komme ich an dieser stelle nicht
> weiter:
> -akt= ln [mm]\bruch{-1}{\bruch{K}{P}-1}[/mm]
Was Du hier berechnet hast, erschließt sich mir überhaupt nicht ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ...
> die zwei ableitungen hab ich bereits gebildet ( Sehr
> aufwendig sag ich euch)!
Vielleicht solltest Du diese mal posten zur Kontrolle ...
Welche Grenzwerte sollst Du denn betrachten?
Für [mm] $t\rightarrow\pm\infty$ [/mm] ??
Unter der Annahme $K \ > \ 0$ sowie $a \ > \ 0$ , gilt:
[mm] $\limes_{t\rightarrow +\infty}P(t) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{t\rightarrow +\infty}\bruch{K*P}{\left(K-P\right)*e^{-aKt}+P} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{K*P}{\left(K-P\right)*\red{0}+P} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{K*P}{P} [/mm] \ = \ K$
[mm] $\limes_{t\rightarrow -\infty}P(t) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{t\rightarrow -\infty}\bruch{K*P}{\left(K-P\right)*e^{-aKt}+P} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{K*P}{\left(K-P\right)*\red{\infty}+P} [/mm] \ = \ 0$
Der hintere Ausdruck mit [mm] $\red{\infty}$ [/mm] ist natürlich nur zur Veranschaulichung und in Gänsefüßchen zu fassen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
hallo loddar und danke für deine hilfe!
zu den nullstellen: vergess was ich da gerechnet habe,ich hab mit dem nenner gerechnet anstatt mit dem zähler, peinlich peinlich!
ich muß wohl noch was grundsätzliches zu der aufgabe sagen: bei der funktion soll es sich um das wachstum einer bakterienpopulation handeln, deshalb hab ich angenommen das K( kapazität des raumes, wo die bakterien gehalten werden) und P( population) größer null sind!a soll übrigens der wachstumsfaktor sein und ist damit auch größer null! das hab ich mir zumindest so gedacht, macht ja auch alles sinn wie ich finde!
da t die zeit ist und damit auch größergleich null sein muß, hab ich die grenzwerte einmal gegen unendlich und einmal gegen null laufen lassen! für [mm] \limes_{t\rightarrow\0} [/mm] bekomm ich P raus, macht ja auch sinn, wenn mans mit hintergrund sieht!Muß ich das für K,P und a auch noch machen?
kann es sein das du dich ürbrigens verrechnet hast?muß es nicht \ [mm] \bruch{K\cdot{}P}{\left(K-P\right)\cdot{}e^{-aKt}+P} [/mm] \ heißen?
1. ableitung lautet bei mir:
[mm] \bruch{K²*(K/P-1)*a*e^{-akt}}{[(k/P-1)*e^{-akt}+1]²}
[/mm]
die ableitung existiert doch auch nur wenn P>K ist, weil man sonst die quotientenregel nicht anwenden darf, stimmt das?
ich hab jetzt den zähler =0 gesetzt und raus das es keine extremwertkandidtaten gibt! da [mm] e^{-akt} [/mm] nie gleich null sein kann! stimmt das?
ganz schön viele fragen, aber dank deiner hilfe ist mir manches schon viel klarer geworden, danke
gruß
superkermit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:20 Fr 07.10.2005 | | Autor: | superkermit |
hallo! ich hab mich mittlerweile bis zu den wendestellen durchgeboxt und hier hänge ich nun absolut fest!!!
Mein wendestellenkandidat ist:
t=- [mm] \bruch{ln P+ln2+ln(k-P)}{a*k}
[/mm]
meine dritte ableitung:
[mm] \bruch{6*k^{4}*( \bruch{K}{P}-1)*a³* e^{-3akt}}{( ( \bruch{K}{P}-1)* e^{-akt}+1)^{4}}
[/mm]
- [mm] \bruch{6K^{4}*(\bruch{k}{p}-1)²*a³*e^{-2akt}}{( \bruch{K}{P}-1)* e^{-akt}+1)^{3}}
[/mm]
+ [mm] \bruch{k^{4}( \bruch{k}{p}-1)*a^{3}*e^{-akt}}{( \bruch{K}{P}-1)* e^{-akt}+1)^{2}}
[/mm]
wie zum teufel soll ich hier rausfinden, ob es sich um eine wendestelle handelt oder nicht?????
gruß
superkermit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo superkermit!
> Mein wendestellenkandidat ist:
> t=- [mm]\bruch{ln P+ln2+ln(k-P)}{a*k}[/mm]
Wo hast Du denn das [mm] $\ln(2)$ [/mm] her?
Mein Kandidat lautet: [mm] $t_w [/mm] \ = \ - \ [mm] \bruch{\ln(P)-\ln(K-P)}{a*K}$
[/mm]
> meine dritte ableitung:
>
> [mm]\bruch{6*k^{4}*( \bruch{K}{P}-1)*a³* e^{-3akt}}{( ( \bruch{K}{P}-1)* e^{-akt}+1)^{4}}[/mm] - [mm]\bruch{6K^{4}*(\bruch{k}{p}-1)²*a³*e^{-2akt}}{( \bruch{K}{P}-1)* e^{-akt}+1)^{3}}[/mm] + [mm]\bruch{k^{4}( \bruch{k}{p}-1)*a^{3}*e^{-akt}}{( \bruch{K}{P}-1)* e^{-akt}+1)^{2}}[/mm]
![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]") Die sieht ja ziemlich konfus aus - ich habe sie jetzt auch nicht nachkontrolliert ...
Aber zum Einsetzen von [mm] $t_w$ [/mm] kannst Du zunächst wie folgt umformen:
[mm] $t_w [/mm] \ = \ - \ [mm] \bruch{\ln(P)-\ln(K-P)}{a*K} [/mm] \ = \ - \ [mm] \bruch{1}{a*K}*\left[\ln(P)-\ln(K-P)\right] [/mm] \ = \ - \ [mm] \bruch{1}{a*K}*\ln\left(\bruch{P}{K-P}\right)$
[/mm]
Damit wird auch:
[mm] $e^{-a*K*t_w} [/mm] \ = \ [mm] e^{-a*K*\left[-\bruch{1}{a*K}*\ln\left(\bruch{P}{K-P}\right)\right]} [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln\left(\bruch{P}{K-P}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{P}{K-P}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
hallo!
ich bin mir ziemlich sicher das die dritte ableitung stimmt, habs eben von maple ausrechnen lassen da kommt dasselbe raus!
auf den ln 2 komm ich weil man bei der zweiten ableitung ja die kettenregel anwendet und aus dem quadrat die zwei wird!
ich werd morgen nochmal drüber gucken, den trick mit dem aufheben von e und ln hab ich schon angewendet, aber es wird dadurch nur bedingt einfacher, ich weiß nicht wie ich rausfinde ob das nun ein wendepunkt ist oder nicht!es wird wohl aber einer sein, kann man sich ja auch logisch überlegen!
vielen dank auf jeden fall für all deine mühen!
gruß
superkermit
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
...
