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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Also bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht sicher:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ln(1-x)+sin(X) / (1-cos (x))
sowohl den oberen als auch den unteren term lass ich gegen 0 streben und bilde jeweils die erste Ableitung, so dann sieht das ganze bei mir so aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] ((x*cos (x)-cos(x)+1) / (x-1)) / sin (x)
= -1+1*(1/ x-1) / sin (x) = 0
Es müsste aber eigentlich -1 herauskommen :( .. ich weiß nich was ich falsch gemacht habe, kann das jemand korriegieren ??
editiert by Marcel: Sichtbarkeit von [mm] [nomm]$\to\0$[/nomm] [/mm] durch Abänderung zu [mm] [nomm]$\to [/mm] 0$[/nomm] erreicht! (Entfernen des Backslashs vor der 0!)
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Hallo Balsam,
> Also bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht sicher:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] ln(1-x)+sin(X) / (1-cos (x))
Lasse den Backslash vor der Null weg und lasse ein Leerzeichen, außerdem setze Klammern, wenn nötig, in Mitteleuropa gilt immer noch Punkt vor Strichrechnung.
Bei dir steht [mm]\lim\limits_{x\to 0}\ln(1-x)+\frac{\sin(x)}{1-\cos(x)}[/mm]
Du meinst aber [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\ln(1-x)+\sin(x)}{1-\cos(x)}[/mm]
Klicke auf die Formeln, dann siehst du den code ...
>
> sowohl den oberen als auch den unteren term lass ich gegen
> 0 streben und bilde jeweils die erste Ableitung, so dann
> sieht das ganze bei mir so aus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0}[/mm] ((x*cos (x)-cos(x)+1) / (x-1)) / sin (x) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> = -1+1*(1/ x-1) / sin (x) = 0
Das geht doch gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm]
Es ist doch [mm]\frac{\frac{x\cos(x)-\cos(x)+1}{x-1}}{\sin(x)}=\frac{x\cos(x)-\cos(x)+1}{(x-1)\sin(x)}[/mm]
Also kannst du ein zweites Mal de l'Hôpital anwenden
Ich würde aber die Ableitung des Zählers nach der ersten Anwendung von de l'Hôpital nicht zusammenfassen, das erschwert nur das weitere Ableiten.
Es ist [mm]\frac{\left[\ln(1-x)+\sin(x)\right]'}{[1-\cos(x)]'}=\frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}}[/mm]
Und das strebt für [mm]x\to 0[/mm] gegen [mm]\frac{0}{0}[/mm], also erneut mit de l'Hôpital ran.
In dieser Version lässt es sich (wie ich finde) bequemer ableiten, und du kommst mit der 2ten de l'Hôpital-Kur auch auf den gewünschten GW -1
>
> Es müsste aber eigentlich -1 herauskommen :( .. ich weiß
> nich was ich falsch gemacht habe, kann das jemand
> korriegieren ??
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Wie kommst du auf diese Terme?
Ist das die 2. Ableitung?
$ [mm] \frac{\left[\ln(1-x)+\sin(x)\right]'}{[1-\cos(x)]'}=\frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}} [/mm] $
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Hallo nochmal,
> Wie kommst du auf diese Terme?
> Ist das die 2. Ableitung?
>
> [mm]\frac{\left[\ln(1-x)+\sin(x)\right]'}{[1-\cos(x)]'}=\frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}}[/mm]
Ich leite Zähler und Nenner getrennt ab:
Den Zähler nach Summenregel, wobei [mm]\ln(1-x)[/mm] nach Kettenregel abgeleitet wird
Also [mm]\text{Zähler}'=\left[\ln(1-x)\right]'+[\sin(x)]'=\frac{1}{1-x}\cdot{}(-1)+\cos(x)=\frac{1}{x-1}+\cos(x)[/mm]
Die Ableitung des Nenners ist ja selbstredend ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
lautet dann die 2.ableitung :
f(x)= 1+cos(x) -> 0 / (x-1)*sin(x) -> 0
f(x)´= -sin(x) / sin(x)+x*coa(x)- cos(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mo 10.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> lautet dann die 2.ableitung :
>
> f(x)= 1+cos(x) -> 0 / (x-1)*sin(x) -> 0
> f(x)´= -sin(x) / sin(x)+x*coa(x)- cos(x)
Kannst Du das mal ordentlich aufschreiben ?
Ich sehe keine 2. Ableitung . Ich sehe nur komische "->", merkwürdige Brüche , fehlende Klammern ...
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
[mm] \bruch{-sin(x)}{sin(x)+x*cos(x)- cos(x)}
[/mm]
das ist die Ableitung
so besser ?
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Hallo nochmal,
> [mm]\bruch{-sin(x)}{sin(x)+x*cos(x)- cos(x)}[/mm]
>
> das ist die Ableitung
>
> so besser ?
Nein, noch viel schlimmer!!
Der obige letzte Ausdruck aus der 1. Anwendung von de l'Hôpital strebt wieder gegen [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Leite dort also Zähler und Nenner wieder getrennt ab.
Und schmeiße bitte nicht irgendeinen "Ergebnisterm" hin, sondern rechne vor.
Das sind doch ganz elementare Ableitungen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:52 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
ich "schmeiße" nichts hin...
Ich schreibe es so auf wie ich es selbst auf dem Zettel gerechnet habe.
Finde mein Fehler nicht, wo habe ich es denn falsch abgeleitet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Balsam,
> ich "schmeiße" nichts hin...
so "böse" meine Schachuzipus das auch nicht.
> Ich schreibe es so auf wie ich es selbst auf dem Zettel
> gerechnet habe.
Das glaube ich nicht. Es fehlen einfach die Rechenschritte, und Schachuzipus wollte Dich darauf hinweisen, dass Du diese - in unserem und in Deinem Sinne - ergänzen solltest, damit man Deine Überlegungen auch vernünftig korrigieren kann.
> Finde mein Fehler nicht, wo habe ich es denn falsch
> abgeleitet?
S.o.: Füge bitte deine Überlegungen inklusive Rechenweg hinzu. Dann sehen wir auch, wo es Probleme/Unklarheiten bei Dir gibt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
Also zu meinen Schritten:
$ [mm] \frac{\left[\ln(1-x)+\sin(x)\right]'}{[1-\cos(x)]'}=\frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}} [/mm] $
so und dafür kann man ja auch schreiben:
1+ cos (x) / (x-1)*sin(x)
und wenn man da wieder jeweils die Ableitung vom Zähler und Nenner macht folgt:
-sin(x) / (x-1)*cos(x)+ 1*sin(x)
wenn das wieder falsch ist.. dann weiß ich auch nicht .. :/
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Hallo Balsam,
> Also zu meinen Schritten:
>
> [mm]\frac{\left[\ln(1-x)+\sin(x)\right]'}{[1-\cos(x)]'}=\frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}}[/mm]
>
> so und dafür kann man ja auch schreiben:
>
> 1+ cos (x) / (x-1)*sin(x)
Hier muss es doch lauten:
[mm]\bruch{1+\red{\left(x-1\right)}*\cos\left(x\right)}{\left(x-1\right)*\sin\left(x\right)}[/mm]
>
> und wenn man da wieder jeweils die Ableitung vom Zähler
> und Nenner macht folgt:
>
>
> -sin(x) / (x-1)*cos(x)+ 1*sin(x)
>
> wenn das wieder falsch ist.. dann weiß ich auch nicht ..
> :/
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Mo 10.01.2011 | | Autor: | Balsam |
[mm] \frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}} [/mm] $ also ist diese erste ableitung falsch ? -.-
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Hallo, ein klares NEIN, ist korrekt, du hast für x gegen Null immer noch den unbestimmten Ausdruck [mm] \bruch{0}{0}, [/mm] also Regel L'Hospital erneut anwenden, was bedeutet, Zähler und Nenner GETRENNT ableiten:
(1)
Zähler: [mm] \bruch{1}{x-1}+cos(x)=(x-1)^{-1}+cos(x)
[/mm]
Ableitung Zähler: [mm] -(x-1)^{-2}-sin(x)
[/mm]
(2)
Nenner: sin(x)
Ableitung Nenner: cos(x)
jetzt sollte es aber klappen
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{-\bruch{1}{(x-1)^{2}}-sin(x)}{cos(x)}=....
[/mm]
Steffi
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Hallo nochmal,
> [mm]\frac{\red{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}}{\blue{\sin(x)}}[/mm] $ also
> ist diese erste ableitung falsch ? -.-
Nein, aber ich sagte oben, ich würde nicht "vereinfachen", sondern alles so stehen lassen und dann Zähler und Nenner getrennt ableiten, Zähler=rot, Nenner=blau
Du hast durch das "Vereinfachen" die Sache verschlimmbessert, da falsch vereinfacht.
Du kannst das [mm]x-1[/mm] nicht einfach so in den Nenner ziehen.
Dazu müsstest du die beiden Terme im Zähler zunächst gleichnamig machen:
[mm]\frac{\frac{1}{x-1}+\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\frac{1}{x-1}+\frac{(x-1)\cdot{}\cos(x)}{x-1}}{\sin(x)}=\frac{\frac{1+(x-1)\cdot{}\cos(x)}{x-1}}{\sin(x)}=\frac{1+(x-1)\cdot{}\cos(x)}{(x-1)\cdot{}\sin(x)[/mm]
Das geht auch gegen [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also de l'Hôpital.
Aber wie gesagt, ich persönlich finde, dass der obige bunte Ausdruck einfacher weiterzubehandeln ist.
Gruß
schachuzipus
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