lebesgue-integrierbar < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f : [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=|x|^{a}(1-|x|)^{b} [/mm] . Für welche a,b [mm] \in \IR+ [/mm] ist f Lebesgue-integrierbar.
Hinweis: in [mm] \IR^{n} [/mm] gilt [mm] \integral_{B_{R}(0)}^{}{g(|x|) d\lambda} [/mm] = [mm] w_{n}\integral_{0}^{R}{g(r)r^{n-1} dr} [/mm] , wobei [mm] w_{n} [/mm] den Oberflächeninhalt der n-dimensionalen Einheitskugel bezeichnet. |
Hallo!
Komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter. Bin erstmal dem Hinweis gefolgt und hab bis jetzt:
[mm] \integral_{B_{R}(0)}^{}{|x|^{a}(1-|x|)^{b}) d\lambda}= w_{n}\integral_{0}^{R}{r^{a}(1-r)^{b}r^{n-1}) dr}= w_{n}\integral_{0}^{R}{r^{a+n-1}(\summe_{i=0}^{b}\vektor{b \\ i}1^{b-i}r^{i}) dr}= w_{n}\integral_{0}^{R}{(\summe_{i=0}^{b}\vektor{b \\ i}r^{a+n-1+i}) dr}= w_{n}(\summe_{i=0}^{b}\integral_{0}^{R}\vektor{b \\ i}r^{a+n-1+i})= w_{n}(\summe_{i=0}^{b}\vektor{b \\ i}\bruch{1}{a+n+i}R^{a+n+i})
[/mm]
also muss [mm] (\summe_{i=0}^{b}\vektor{b \\ i}\bruch{1}{a+n+i}R^{a+n+i}) [/mm] < [mm] \infty [/mm] werden, richtig?
Jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter. Was kann ich denn jetzt für a und b folgern?
Liebe grüße,
Blueevan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:37 So 02.12.2007 | | Autor: | Blueevan |
Ups sorry, der binomische Lehrsatz gilt nur für ganzzahlige Exponenten...
Aber jetzt bin ich vollkommen überfragt mit der Aufgabe :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:29 Di 04.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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