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| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IN [/mm] relativ prim(dass heisst teilerfremd).
Zeigt, dass unendlich viele x,y [mm] \in \IZ [/mm] existieren, so dass
ax + by = 1
Zeigt auch, dass die Gleichung nicht erfüllt ist, wenn a und b nicht relativ prim sind. |
Hallo,
kann mir jemand mal bei diesem Beweis helfen, hab leider keine Ahnung wie ich da rangehen soll.
MFG
nathenatiker
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Guten Morgen!
Nun, den letzten Teil zuerst: wenn $a$ und $b$ nicht relativ prim sind, sondern einen gemeinsamen Teiler $d > 1$ haben, dann teilt $d$ auch immer $ax + by$ und damit kann $ax + by = 1$ nie erfüllt sein.
Wenn also angenommen wird, dass $a$ und $b$ teilerfremd sind, dann kann z.B. mit Hilfe des euklidischen Algorithmus eine Lösung der Gleichung produziert werden, d.h. man findet ein Paar $(x,y)$ mit $ax + by = 1$.
Bleibt zu zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt - aber wenn man eine Lösung hat, dann kann man aus dieser weitere Lösungen basteln. Wenn nämlich $(x,y)$ eine Lösung ist, dann auch $(x - bt, y + at)$ für jedes ganzzahlige $t$. (Nachrechnen!)
Man kann sogar zeigen, dass dies alle Lösungen sind, es gibt also eine Lösung für jede ganze Zahl und das sind unendlich viele. 
Alles klar?
Lars
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hallo,
erst mal danke fuer die antwort, der erste teil war noch einleuchtend, aber hier bin ich mir nicht genau sicher was du meinst:
> Bleibt zu zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt -
> aber wenn man eine Lösung hat, dann kann man aus dieser
> weitere Lösungen basteln. Wenn nämlich [mm](x,y)[/mm] eine Lösung
> ist, dann auch [mm](x - bt, y + at)[/mm] für jedes ganzzahlige [mm]t[/mm].
> (Nachrechnen!)
>
wie soll ich das genau zeigen? koenntest du mir das noch mal erleutern,
vielen dank
natehnatiker
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Do 22.06.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo nathenatiker,
> hallo,
>
> erst mal danke fuer die antwort, der erste teil war noch
> einleuchtend, aber hier bin ich mir nicht genau sicher was
> du meinst:
> > Bleibt zu zeigen, dass es unendlich viele Lösungen gibt
> -
> > aber wenn man eine Lösung hat, dann kann man aus dieser
> > weitere Lösungen basteln. Wenn nämlich [mm](x,y)[/mm] eine Lösung
> > ist, dann auch [mm](x - bt, y + at)[/mm] für jedes ganzzahlige [mm]t[/mm].
> > (Nachrechnen!)
> >
>
> wie soll ich das genau zeigen? koenntest du mir das noch
> mal erleutern,
Du brauchst doch nur einzusetzen, auszumultiplizieren und die Tatsache, dass (x,y) eine Lösung ist, auszunutzen.
Gruß
Sigrid
>
> vielen dank
>
> natehnatiker
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