letzten Ziffern bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | berechnen sie die letzten beiden Ziffern der Zahl 2107^1257 |
Ich habe die Aufgabe in keinem weiteren Forum gestellt.
hallo Zusammen,
ich verzweifel gerade, weil ich die Rechnung nicht ganz nachvollziehen kann und morgen Mathe Examen schreibe =( ich habe die Aufgabe immer nur mit kleinen Zahlen gerechnet und dabei gings auch über ein anderes Verfahren. ich hoffe ihr könnt mir das erklären!!
hier mein Ansatz:
2107kongruent 7 mod 100. ggT(7,100)=1 und tau(100)=40
2107^40 kongruent 7^40 kongruent 1 mod 100, wegen dem Euler Satz.
2107 ^1257 kongruent 7^1257
= (7^40)^31*7^17kongruent [mm] (1^40)^8* [/mm] 1^17 mod 100.
bis dahin habe ich das analog zu einer lösung von einer anderen aufgabe gemacht und noch einigermaßen verstanden.
wie es weitergeht und warum so, verstehe ich nicht aber muss ich ganz dringend verstehen, weil die zeit knapp ist =(
liebe grüße Minchen77
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Folgende Aufgabe hat mein Prof mit Lösung online gestellt:
Bestimme die letzten zwei Ziffern von 2307^355
Sein Lösungsweg:
2307 kongruent 7 mod 100, ggt(7,100)=1 und tau100=40 Damit:
2307^40 kongruent 7^40 kongruent 1 mod 100. und
2307^355 kongruent 7^355 = [mm] (7^40)^8 [/mm] *7^35kongruent [mm] 1^8 [/mm] *7^35 mod 100
( hier verstehe ich nicht wie es zu dem "kongruent [mm] 1^8 [/mm] *7^35 kommt, meiner Meinung nach müsste da statt dem 7^35 eine 1^35 stehen!? )
weiter geht's dann:
[mm] 7^3=343kongruent [/mm] 43. [mm] 7^4=2401 [/mm] kongruent 1
--> 2307^35 [mm] =(7^4)^8 *7^3 [/mm] kongruent 43 mod 100
somit sind die Endziffern 43
den teil verstehe ich leider auch nicht
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Hallo Minchen77,
> Folgende Aufgabe hat mein Prof mit Lösung online gestellt:
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> Bestimme die letzten zwei Ziffern von 2307^355
>
> Sein Lösungsweg:
> 2307 kongruent 7 mod 100, ggt(7,100)=1 und tau100=40 Damit:
>
> 2307^40 kongruent 7^40 kongruent 1 mod 100. und
>
> 2307^355 kongruent 7^355 = [mm](7^40)^8[/mm] *7^35kongruent [mm]1^8[/mm]
> *7^35 mod 100
> ( hier verstehe ich nicht wie es zu dem "kongruent [mm]1^8[/mm]
> *7^35 kommt, meiner Meinung nach müsste da statt dem 7^35
> eine 1^35 stehen!? )
>
Es ist doch [mm]7^{40}\equiv 1 \operatorname{mod} \ 100[/mm]
Damit ist [mm]7^{355} \equiv 7^{40*8+35} \equiv \left( \ 7^{40} \right)^{8}*7^{35} \equiv 1^{8}*7^{35} \equiv 7^{35}[/mm]
> weiter geht's dann:
>
> [mm]7^3=343kongruent[/mm] 43. [mm]7^4=2401[/mm] kongruent 1
> --> 2307^35 [mm]=(7^4)^8 *7^3[/mm] kongruent 43 mod 100
> somit sind die Endziffern 43
>
> den teil verstehe ich leider auch nicht
Es ist doch
[mm]7^{1} \equiv 7 \operatorname{mod} \ 100[/mm]
[mm]7^{2} \equiv 49 \operatorname{mod} \ 100[/mm]
[mm]7^{3} \equiv 343 \equiv 43 \operatorname{mod} \ 100[/mm]
[mm]7^{4} \equiv 7^{3}*7^{1} \equiv 2401 \equiv 1 \operatorname{mod} \ 100[/mm]
Damit ist [mm]7^{35} \equiv 7^{4*8+3} \equiv \left( \ 7^{4} \right)^{8}*7^{3} \equiv 1^{8}*7^{3} \equiv 43 \operatorname{mod} \ 100[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:55 So 08.09.2013 | | Autor: | wauwau |
[mm] $2107^{1257} \equiv [/mm] x(100)$
Wie du schon richtig erkannt hast, ist [mm] $\varphi(100)=40$
[/mm]
und damit
[mm] $2107^{40} \equiv [/mm] 1(100)$
und damit
[mm] $(2107^{40})^n=2107^{40n}\equiv [/mm] 1(100)$
Nun ist aber $1257 = 40.31+17$
und daher
[mm] $2107^{1257}=2107^{40.31+17}=2107^{40.31}2107^{17}$
[/mm]
naja und nun kommst du hoffentlich alleine weiter...
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Nun ist aber 1257 = 40.31+17
und daher
$ [mm] 2107^{1257}=2107^{40.31+17}=2107^{40.31}2107^{17} [/mm] $
diesen teil verstehe ich überhaupt nicht.
und is das, was ich mit der 7 gemacht habe quatsch?
sorry ich verstehe das überhaupt nicht und brauche echt ne kleinschrittige Erklärung, weil ich noch sooo viel lernen muss für morgen =(
ich würde damit gerne fertig werden um weiter machen zu können
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 So 08.09.2013 | | Autor: | Minchen77 |
also doch ich verstehe schon das 40*31+17= 1257 ist.
aber das hilft mir leider gerade trotzdem nicht weiter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 08.09.2013 | | Autor: | wauwau |
> Nun ist aber 1257 = 40.31+17
> und daher
> [mm]2107^{1257}=2107^{40.31+17}=2107^{40.31}2107^{17}[/mm]
>
>
> diesen teil verstehe ich überhaupt nicht.
> und is das, was ich mit der 7 gemacht habe quatsch?
Nein, das ist doch Grundrechnen mit exponenten - oder (ohne Modulo und so)
Betrachtest du die obige Gleichung
[mm] $2107^{1257}=2107^{40.31+17}=2107^{40.31}2107^{17}$ [/mm] modulo 100, und du weißt ja, dass [mm] $2107^{40}\equiv [/mm] 1(100)$ dann
[mm] $2107^{40.31}2107^{17}\equiv ((2107^{40} mod(100))^{31}.(2107^{17} [/mm] mod(100)) = [mm] 1^{31}.(2107 \mod 100)^{17} \equiv 7^{17} \mod [/mm] (100)$
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$ [mm] 2107^{40.31}2107^{17}\equiv ((2107^{40} mod(100))^{31}.(2107^{17} [/mm] mod(100)) = [mm] 1^{31}.(2107 \mod 100)^{17} \equiv 7^{17} \mod [/mm] (100) $
den letzten Schritt zu kongruent 7^17 verstehe ich nicht.
und ich verstehe auch nicht, wie mir das weiterhilft um af die Endziffern zu kommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 So 08.09.2013 | | Autor: | wauwau |
[mm] $2107\equiv [/mm] 7(100)$ ok?
[mm] $7^4=2401\equiv [/mm] 1(100)$ ok?
[mm] $7^{17}=7^{4.4+1}=(7^4)^4.7\equiv 1^4.7(100)$
[/mm]
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ja das verstehe ich soweit.
bedeutet das nun, dass die Endziffern [mm] 1^4 [/mm] *7 sind; also 07?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 So 08.09.2013 | | Autor: | wauwau |
Yap -Bingo genau
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vielen dank, so langsam kommt licht ins dunkle :)
ich habe noch eine frage, um den euler satz anwenden zu können muss ja
ggt (a,m)= 1 sein. mein a ist doch in der aufgabe 2107 oder?
ich weiß, ich habe selber die 7 genommen, weil ich das aber analog zu ner anderen lösung gemacht habe und das dort so war.
oder darf ich auch die 7 nehmen, weil die kongruent zu 2107 mod 100 ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 08.09.2013 | | Autor: | wauwau |
Genau
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