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| Aufgabe | Seien [mm] (a_{n}) [/mm] und [mm] (b_{n}) [/mm] beschränkte reelle Folgen. Zeigen sie:
[mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})\le\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n} [/mm] |
Wie kann ich das zeigen?? Kann mir jemand nen ansatz geben??
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> Seien [mm](a_{n})[/mm] und [mm](b_{n})[/mm] beschränkte reelle Folgen. Zeigen
> sie:
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> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}(a_{n}+b_{n})\le\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}+\limsup_{n\rightarrow\infty}b_{n}[/mm]
Zeige, dass für alle [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ gilt
[mm]\limsup_{n\rightarrow \infty}(a_n+b_n)\leq \limsup_{n\rightarrow\infty}(a_n)+\limsup_{n\rightarrow \infty}(b_n)+\varepsilon[/mm]
für [mm] $\varepsilon\rightarrow [/mm] 0$ folgt dann die Behauptung.
Zum Beweis der obigen Ungleichung kannst Du verwenden, dass es (wegen der Beschränktheit der beiden Folgen und der Definition des [mm] $\limsup_{n\rightarrow\infty}$) [/mm] ein [mm] $n_a$ [/mm] gibt mit [mm] $a_n\leq \limsup_{n\rightarrow \infty}(a_n)+\frac{\varepsilon}{2}$, [/mm] für alle [mm] $n\geq n_a$, [/mm] und ein [mm] $n_b$ [/mm] mit [mm] $b_n\leq \limsup_{n\rightarrow \infty}(b_n)+\frac{\varepsilon}{2}$, [/mm] für alle [mm] $n\geq n_b$.
[/mm]
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