limes berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 So 26.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: lim [mm] (1^k+...+n^k)/n^{k+1}=1/k+1 [/mm] |
Hallo liebe Leute, bei der Aufgabe bekomme ich im Nenner k+1, nur im Zähler kriege ich keine eins.
Habe zuerst gemeinsamen Nenner gefunden und die Klammern aus-multipliziert so, dass ich im Zähler folgendes stehen habe: ....k+1-n
weil [mm] (1^k*k)/n^k [/mm] geht gegen 0, genauso wie [mm] 1^k/n^k. [/mm] Nur weiß ich leider nicht mehr weiter.
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Hiho,
vorweg: Was ist der Laufindex. Ich vermute mal n, auch wenn du das nicht angegeben hast.
Wogegen läuft n? [mm] $\infty, [/mm] 0, [mm] \lambda$ [/mm] ? Ich vermute mal [mm] $\infty$ [/mm] (man sollte mich als Orakel einstellen)....
Dann: Gibt es Einschränkungen an k?
Poste doch einfach mal die gesamte Aufgabenstellung.
Und dann schreibe sauber auf, was du gemacht hast. "gemeinsamen Nenner" finden, ist bei einem Bruch irgendwie nicht klar, was du da gemacht haben willst....
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 So 26.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Sorry, n geht natürlich gegen [mm] \infty. [/mm] Für k steht leider nichts, nur in den Aufgaben davor dass [mm] k\in \IN. [/mm] Dann könnte es sein, dass es für diese Aufgabe dasselbe k gilt.
gemeinsamer Nenner ist bei mir: [mm] n^k(k+1), [/mm] dann kürze ich [mm] n^k [/mm] im Nenner und Zähler.
Aber da im Zähler eine Summe steht (meine ich die Punkten auch dazu), dann brauche ich wahrscheinlich eine Summenformel (Faulhabersche Formel), habe eine gefunden, nur bei der VL hatten wir die noch nicht.
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Hallo Regina,
Du scheinst mit dem Formeleditor nicht zurecht zu kommen. Ich schreibe die Aufgabe mal korrekt auf:
Für [mm] k\in\IN [/mm] ist zu zeigen: [mm] \lim_{n\to\infty}\bruch{1}{n^{k+1}}\summe_{i=1}^{n}i^k=\bruch{1}{k+1}
[/mm]
Ich lasse die Frage halboffen, weil ich gerade auch noch keinen sinnvollen Weg sehe. Es wird aber sicher einen ohne die Faulhabersche Formel geben - die kann man nicht voraussetzen, auch die darin vorkommenden Bernoullizahlen nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
das stimmt mit dem Formeleditor braucht man bisschen Übung.
Jetzt weiß ich nicht ob [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1^k+...+n^k)}{n^(k+1)}=\bruch{1}{k+1} [/mm] gleich diese Summe ist, was mir von Reverend geschrieben wurde.
Aber vielen Dank, dass ihr euch meldet und möchtet helfen.
Gruß Regina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> das stimmt mit dem Formeleditor braucht man bisschen
> Übung.
> Jetzt weiß ich nicht ob
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1^k+...+n^k)}{n^(k+1)}=\bruch{1}{k+1}[/mm]
Du meinst
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(1^k+...+n^k)}{n^{k+1}}=\bruch{1}{k+1}\,.$
[/mm]
(Klick' auf die Formeln oder halte den Mauszeiger drauf - der Unterschied:
Ansatt $n^(k+1)$ (das liefert $n^(k+1)$) solltest Du $n^{k+1}$ (das liefert [mm] $n^{k+1}$) [/mm]
schreiben, also Exponenten in geschweifte Klammern setzen!)
> gleich diese Summe ist, was mir von Reverend geschrieben
> wurde.
Ist es, es ist ja [mm] $\sum_{i=1}^n i^k=1^k+2^k+...+n^k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Danke Marcel, aber wie gehe ich weiter, soll ich wie Sax gesagt hat die Summen abschätzen? Wenn ja, wie mache ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:16 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
schätze die Summe nach unten und oben ab, indem du sie einmal als Obersumme und einmal als Untersumme zum Integral über die Funktion f mit f(x) = [mm] x^k [/mm] auffasst. Benutze dann den Binomischen Satz und das Sandwich-Theorem.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Hallo Sax, mit einer Funktion haben wir in der VL noch nicht gemacht, aber mit dem Sandwich Theorem muss das irgendwie gehen.
Danke schön!
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Hallo Regina,
> mit einer Funktion haben wir in der VL noch
> nicht gemacht, aber mit dem Sandwich Theorem muss das
> irgendwie gehen.
> Danke schön!
Nee, Du brauchst schon beides. Google mal nach "Integralkriterium". Das ist wahrscheinlich nicht nur der eleganteste, sondern sogar der einzig machbare Weg. Damit ist die Behauptung jedenfalls schnell gezeigt.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Wäre dann die [mm] f(x)=x^k, [/mm] soll ich die Ober- und Untergrenze nach Sandwich-Satz abschätzen?
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Hallo nochmal,
> Wäre dann die [mm]f(x)=x^k,[/mm] soll ich die Ober- und Untergrenze
> nach Sandwich-Satz abschätzen?
Zweimal "ja". Sax hat den Weg doch gut skizziert.
Übrigens: Du gibst in Deinem Profil "im Hauptstudium" an. Da müsstest Du das Integralkriterium aber längst benutzen dürfen. Oder hast Du Dich nur "verklickt"? Nach dem, was Du schreibst, klingt das eher nach einer Vorlesung im ersten (höchstens zweiten) Semester. Wäre ja nicht schlimm, aber Du kriegst besser auf Dich zugeschnittene Antworten, wenn Dein Profil stimmt.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Bin auch im 1.Semester und es fällt mir wirklich schwer alles unter einen Hut zu kriegen. Und ich danke denen, die mir helfen!
Gruß Regina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
wäre dann halboffenes Integral von 1 bis [mm] +\infty [/mm] und habe [mm] 0-\infty=\infty, [/mm] Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> wäre dann halboffenes Integral von 1 bis [mm]+\infty[/mm] und habe
> [mm]0-\infty=\infty,[/mm] Stimmt das?
Nein, das kann ich mit Sicherheit sagen, obwohl ich nicht verstehe, was Du meinen könntest.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
ich meine, wenn [mm] f(x)=x^k, [/mm] da [mm] k\in \IN.
[/mm]
Nur wenn das falsch ist, dann würde ich nach dem Sandwich Satz: [mm] \bruch{1}{k+2}\le\bruch{1}{k+1}\le\bruch{1}{k}? [/mm]
Könnte ich so machen oder ist das völlig falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> ich meine, wenn [mm]f(x)=x^k,[/mm] da [mm]k\in \IN.[/mm]
> Nur wenn das falsch
> ist, dann würde ich nach dem Sandwich Satz:
> [mm]\bruch{1}{k+2}\le\bruch{1}{k+1}\le\bruch{1}{k}?[/mm]
Was Du da oben schreibst ist sprachlich ein völlig unverständlicher Satz.
Fangen wir nochmal von vorne an. Und zwar folgen wir dem Vorschlag von Sax.
Es ist (rechne es nach !)
[mm] (1^k+...+n^k)/n^{k+1}= \bruch{1}{n}[ (\bruch{1}{n})^k+ (\bruch{2}{n})^k+...+ (\bruch{n}{n})^k]
[/mm]
Wenn Du Dir die Summe rechts genau anschaust, solltest Du feststellen, dass es sich um eine Riemansche Zwischensumme für das Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{x^k dx}
[/mm]
handelt. Da x [mm] \to x^k [/mm] integrierbar über [0,1] ist, folgt:
[mm] (1^k+...+n^k)/n^{k+1} \to \integral_{0}^{1}{x^k dx} [/mm] für n [mm] \to \infty.
[/mm]
FRED
> Könnte ich so machen oder ist das völlig falsch?
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Ok, zwar haben wir Riemannsche Summe nicht gehabt, aber wenn ich richtig verstehe die Folge konvergiert gegen 1.
Die Frage ist, wie bekomme ich [mm] \bruch{1}{k+1}? [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok, zwar haben wir Riemannsche Summe nicht gehabt,
Habt Ihr Ober und Untersummen gehabt ?
Wenn ja, so kannst Du die fragliche Summe auch als Obersumme aufassen.
> aber
> wenn ich richtig verstehe die Folge konvergiert gegen 1.
> Die Frage ist, wie bekomme ich [mm]\bruch{1}{k+1}?[/mm]
Das ist nicht Dein Ernst, oder ?
Berechne mal [mm] \integral_{0}^{1}{x^k dx}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
sorry, bin bisschen überfordert [mm] \bruch{1}{k+1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Eine vl noch "dumme Frage" wie komme ich auf Integral von 0 bis 1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Eine vl noch "dumme Frage" wie komme ich auf Integral von 0
> bis 1?
Nochmal: Habt Ihr Ober und Untersummen gehabt ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
ja haben wir, aber das ist schon bisschen länger her...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Mo 27.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> ja haben wir, aber das ist schon bisschen länger her...
> na , dann kommen wir der Sache doch schon ein wenig näher.
Du betrachtest nun die Funktion [mm] f(x)=x^k [/mm] auf [0,1]
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] Z_n [/mm] die Zerlegung von [0,1] mit den Teilpunkten
0, [mm] \bruch{1}{n}, \bruch{2}{n}, [/mm] ..., [mm] \bruch{n}{n}(=1).
[/mm]
Nun schreib Du mal die zu [mm] Z_n [/mm] und f gehörende Obersumme [mm] O_n [/mm] hin.
Da f stetig ist, ist f integrierbar. Dann weiss man:
[mm] O_n \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Mo 27.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
0, ..., 1, jetzt weiß ich!
Herzlichen Dank für so viel Geduld mit mir.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 So 26.05.2013 | | Autor: | Regina13 |
Oh nein, ich habe die Aufgaben vertauscht.... bei der habe ich einfach [mm] n^k [/mm] ausgeklammert und gekürzt.
Tut mir echt leid. dann habe ich: [mm] (1^k/n^k+.....+1)/n
[/mm]
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