lin. abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mo 21.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | Gegeben sei eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^{2} \rightarrow \IR^{3}, [/mm] mit f((2,0))= (-2,6,8) und f((1,1))= (0,0,0)
a) Bestimmen Sie die Matrix A der linearen Abbildung f bezüglich der Basis {(1,0),(0,1)} |
hallo!
ich habe sehr große probleme die sachen mit den lin. abbildungen zu verstehen, hoffe mir kann jemand helfen von euch. ich denke mal wenn ich den ersten vektor auf die basis (1,0) bringen möchte, bekomme ich (-1,3,4), wie mache ich das bei dem zweiten? was muss ich dann weitermachen um auf meine matrix zu kommen?
bin gerade sehr verwirrt und bitte um eure hilfe!
dank und lg
mark
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Hallo mwieland,
> Gegeben sei eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^{2} \rightarrow \IR^{3},[/mm]
> mit f((2,0))= (-2,6,8) und f((1,1))= (0,0,0)
>
> a) Bestimmen Sie die Matrix A der linearen Abbildung f
> bezüglich der Basis {(1,0),(0,1)}
> hallo!
>
> ich habe sehr große probleme die sachen mit den lin.
> abbildungen zu verstehen, hoffe mir kann jemand helfen von
> euch. ich denke mal wenn ich den ersten vektor auf die
> basis (1,0) bringen möchte, bekomme ich (-1,3,4), ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") wie
> mache ich das bei dem zweiten?
Wie hast du es denn beim ersten gemacht?
Stelle $(0,1)$ als LK von $(2,0)$ und $(1,1)$ dar und nutze die Linearität der Abbildung ...
> was muss ich dann
> weitermachen um auf meine matrix zu kommen?
Das hängt davon ab, bzgl. welcher Basis des Zielraumes du die Chose betrachten sollst ...
>
> bin gerade sehr verwirrt und bitte um eure hilfe!
>
> dank und lg
> mark
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Di 22.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ja beim ersten hab ichs einfach halbiert, weil nur eine x-komponente vorhanden war und die vorher doppelt so groß war wie die meiner basis, was mache ich hier aber wenn ich x und y komponente habe und zur basis (0,1) kommen soll?
was bedeutet das alles, verstehe das nicht so ganz was da mit meinen vektoren geschieht bzw. geschehen sollte, werde auch aus skript und wikipedia nicht ganz schlau, könnt mir das jemand von euch bitte "laienhaft" erklären, sodass ich was anfnagen kann damit?
vielen, vielen dank,
lg mark
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moin mark,
fangen wir mal vorne an:
f soll eine lineare Abbildung sein, das heißt f erfüllt diese beiden Bedingungen:
[mm] $\forall [/mm] v,w [mm] \in \IR^2: [/mm] f(v+w) = f(v) + f(w)$
[mm] $\forall [/mm] v [mm] \in \IR^2 \forall [/mm] s [mm] \in \IR: [/mm] f(s*v) = s*f(v)$
Zu aller erst mal eine Feststellung:
So eine lineare Abbildung ist [mm] \textbf{eindeutig} [/mm] bestimmt, wenn du weißt was sie mit einer Basis macht.
Hast du etwa wie in deinem Fall als Vektorraum den [mm] $\IR^2$ [/mm] und eine Basis [mm] $v_1, v_2$, [/mm] so lässt sich jedes $v [mm] \in \IR^2$ [/mm] schreiben als $v = [mm] a_1*v_1 [/mm] + [mm] a_2*v_2$ [/mm] für passende [mm] $a_1,a_2 \in \IR$ [/mm] (wenn dir das nicht ganz klar ist guck dir nochmal an was genau eine Basis ist).
Wenn wir nun $f(v)$ berechnen wollen so lässt sich dies mit obigen Regeln tun als:
$f(v) = [mm] f(a_1*v_1 [/mm] + [mm] a_2*v_2) [/mm] = [mm] a_1*f(v_1) [/mm] + [mm] a_2*f(v_2)$
[/mm]
Wie du siehst reicht es also aus zu wissen, was f mit [mm] $v_1,v_2$ [/mm] macht, um zu sagen was f mit jedem einzelnen Vektor macht.
Da Mathematiker sich ja gern Schreibarbeit sparen möchten wäre es doch toll, wenn wir diese Info, die f eindeutig bestimmt, irgendwie kompakt darstellen könnten.
Hier kommen dann die Matrizen ins Spiel, denn solche linearen Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen lassen sich immer durch eine Matrix darstellen.
Wenn du eine lineare Abbildung hast dann bekommst du die Abbildungsmatrix, indem du die Bilder der Basis in die Matrix schreibst.
Das ist immer dann besonders angenehm, wenn du die Standardbasis betrachtest, also Vektoren die nur an einer Stelle gleich 1 sind und sonst überall gleich 0.
Mal an einem Beispiel:
$f: [mm] \IR^2 \to \IR^3$, [/mm]
[mm] $\vektor{1 \\ 0} \mapsto \vektor{1 \\ 3 \\ 5}$ [/mm]
[mm] $\vektor{0 \\ 1} \mapsto \vektor{2 \\ 4 \\ 6}$
[/mm]
Ich habe hier eine Basis und ich weiß, was f mit dieser Basis macht, also kenne ich f (eindeutig!).
Die Abbildungsmatrix wäre dann:
$A = [mm] \pmat{1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6}$
[/mm]
Also wie gesagt einfach die Bilder der Basis als Spalten in die Matrix schreiben.
Du musst dabei beachten, dass die Reihenfolge wichtig ist, also guck in welcher Reihenfolge deine Basis ist.
Die Standardbasis wird normalerweise immer von oben nach unten durchnummeriert, also [mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots},\cdots$
[/mm]
Das ist aber nur eine Konvention, achte bei Aufgaben darauf ob es vielleicht mal anders sein sollte.
Bevor wir die Theorie verlassen nochmal ganz kurz:
Die obige Matrix A ist jetzt bezüglich der Standardbasen des [mm] $\IR^2$ [/mm] und des [mm] $\IR^3$ [/mm] aufgestellt.
Das ganze geht auch für jede beliebige andere Basis, du musst nur immer bedenken: In die Spalten kommen die Bilder der Basis, dargestellt in der Basis des Zielraums.
Aber bleiben wir jetzt erstmal ganz fein bei deiner Aufgabe und den Standardbasen:
Du hast die lineare Abbildung f gegeben, du hast die Bilder einer Basis, also kennst du f eindeutig.
Nun möchtest du die Matrix haben, also schreib die Bilder der Basis in die Spalten.
Aber Vorsicht! Du möchtest es bezüglich der Standardbasis haben, also musst du noch ein wenig rechnen.
Für deine Matrix brauchst du also [mm] $f\left(\vektor{1 \\ 0}\right)$ [/mm] als erste Spalte und [mm] $f(\left(\vektor{0 \\ 1}\right)$ [/mm] als zweite Spalte.
Nun musst du also nur noch diese beiden Funktionswerte berechnen.
Den ersten hast du ja schon, da hast du einfach durch 2 geteilt.
Nun brauchst du noch den zweiten.
Also brauchst du, wie ganz oben in meinem Post, [mm] $a_1,a_2 \in \IR$ [/mm] mit
[mm] $\vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] a_1\vektor{2 \\ 0} [/mm] + [mm] a_2\vektor{1 \\ 1}$
[/mm]
Diese a erhälst du durch ein wenig Ausprobieren oder falls das nicht klappt könntest du auch ganz formal ein lineares Gleichungssystem draus machen (jede einzelne der zwei Vektoren-Zeilen als eigene Zeile des LGS).
Hast du dann deine Darstellung von [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] so benutzt du die obigen beiden Regeln für lineare Abbildungen, um wie ich es oben allgemein dargestellt habe das Bild zu berechnen.
Dann nur noch die beiden Bilder als Spalten in eine Matrix schreiben und du bist fertig.
Sollte es noch Fragen geben immer her damit.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 22.11.2011 | | Autor: | mwieland |
danke dir vielmals für deine ausführliche erklärung, hab jetzt verstanden, was der hintergrund ist bei diesem beispiel.
nur wie wende ichd as jetzt auf den zweiten vektor an?
es ist ja f(1,1) = (0,0,0)
und ich soll jetzt daraus das f(0,1) berechnen oder wie?
dank und lg mark
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Aus dem einen Vektor kriegst du das nicht hin.
Du musst eine geeignete Summe von beiden basteln.
Da du ja auch noch ein wenig selbst was rechnen sollst mal an einem anderen Beispiel:
Wir nehmen uns [mm] $v_1 [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 0 \\ 0}$, $v_2 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0}$, $v_3 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] als Basis des [mm] $\IR^3$
[/mm]
Nun möchte ich die Standardbasis, ebenso wie du bei deinem Beispiel mit dem [mm] $\IR^2$, [/mm] als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen.
[mm] $\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] 0.1*v_1$
[/mm]
Das dürfte noch offensichtlich sein.
Für die beiden anderen reicht es jetzt aber nicht etwas durcheinander zu teilen, hier muss wirklich eine Linearkombination gemacht werden.
Nach ein wenig scharfem Hinsehen oder ggf. einer Rechnung ergibt sich:
[mm] $\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] = [mm] -0.1*v_1 [/mm] + [mm] v_2$
[/mm]
[mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] -v_2+v_3$
[/mm]
Und auf diese Art musst du deinen zweiten Vektor, der ja nicht einfach ein Vielfaches einer der beiden ist, als Linearkombination darstellen.
Dann kannst du das ganze in f einsetzen und das Bild ausrechnen.
In deinem Beispiel sollte es reichen ein wenig auszuprobieren, um die Linearkombination zu finden; im allgemeinen Fall musst du dafür vielleicht etwas rechnen; der Begriff LGS und Gaußalgorithmus sollte dir etwas sagen, falls nicht guck mal in deinem Skript ob das bald kommt.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok ok, ich glaub ich habs jetzt...
ich sage
f(2,0) = [mm] \vektor{-2 \\ 6 \\ 8 } [/mm] = [mm] \vec{x}
[/mm]
f(1,1,) = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] = [mm] \vex{y}
[/mm]
dann komme ich auf
f(1,0) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \vec{x}
[/mm]
und für f(0,1) = [mm] \vec{y} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] - [mm] \vektor{ -1 \\ 3 \\ 4 } [/mm] = [mm] \vektor{ 1 \\ -3 \\ -4 }
[/mm]
oder?
dank und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Mi 23.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok ok, ich glaub ich habs jetzt...
>
> ich sage
>
> f(2,0) = [mm]\vektor{-2 \\ 6 \\ 8 }[/mm] = [mm]\vec{x}[/mm]
> f(1,1,) = [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] = [mm]\vex{y}[/mm]
>
> dann komme ich auf
>
> f(1,0) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm]
> und für f(0,1) = [mm]\vec{y}[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm] - [mm]\vektor{ -1 \\ 3 \\ 4 }[/mm] = [mm]\vektor{ 1 \\ -3 \\ -4 }[/mm]
>
> oder?
Stimmt.
FRED
>
> dank und lg
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
sehr gut sehr gut, danke euch vielmals ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | b) zeigen Sie, dass [mm] V={\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)} [/mm] ein untervektorraum von [mm] \IR^{2} [/mm] ist.
c) Bestimmen Sie eine Basis für V. Begründen Sie Ihre antwort. |
ok also mal zu b)
die Unterraumkriterien besagen ja:
1. [mm] \vec{u},\vec{v} \in [/mm] V [mm] \rightarrow \vec{u}+\vec{v}\in [/mm] V
2. [mm] \vec{u}\in [/mm] V, [mm] \lambda \in\IR \rightarrow \lambda\vec{u}\in [/mm] V
hab das erste Kriterium mal bewiesen, indem ich gesagt habe
[mm] f(\vec{u})=f(\vec{v})=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
[mm] f(\vec{u}+\vec{v})= \vektor{0\\0\\0}+\vektor{0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0} \in [/mm] V
daraus folgt, dass [mm] \vec{u}+\vec{v} \in [/mm] V
zum zweiten Krit.
[mm] f(\vec{u})=\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
[mm] \lambda*f(\vec{u})= \lambda*\vektor{0\\0\\0} [/mm] =
[mm] f(\vec{u})=\vektor{\lambda*0\\ \lambda*0\\ \lambda*0} [/mm] = [mm] f(\lambda *\vec{u}) =\vektor{0\\0\\0} \in [/mm] V
Daher sind beide Kriterien bestätigt und V ist ein Unterraum von [mm] \IR^{2}
[/mm]
wie mache ich das dann aber bei c), wenn ich eine Basis zu V bestimmen soll?
dank und lg
mark
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Hallo,
es ist hier [mm] f(\vec{x}):=\pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}*\vec{x} [/mm] für alle [mm] \vec{x}\in \IR.
[/mm]
> b) zeigen Sie, dass [mm]V=\{\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)\}[/mm]
> ein untervektorraum von [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
>
> c) Bestimmen Sie eine Basis für V. Begründen Sie Ihre
> antwort.
> ok also mal zu b)
>
> die Unterraumkriterien besagen ja:
V ist ein UVR eines VRes V', sofern gilt
>
> 1. [mm]\vec{u},\vec{v} \in[/mm] V [mm]\rightarrow \vec{u}+\vec{v}\in[/mm] V
> 2. [mm]\vec{u}\in[/mm] V, [mm]\lambda \in\IR \rightarrow \lambda\vec{u}\in[/mm] V
Ein sehr wichtiges Kriterium hast Du vergessen:
0. [mm] V\not=\emptyset. [/mm]
Oft wird es auch so formuliert:
0. [mm] 0_{V'}\in [/mm] V
Du mußt also ein ganz konkretes Element angeben, welches in V liegt bzw. zeigen, daß daß Nullelement des (Ober)Vektorraumes drin ist.
>
> hab das erste Kriterium mal bewiesen, indem ich gesagt
> habe
>
> [mm]f(\vec{u})=f(\vec{v})=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
>
> [mm]f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})> = \vektor{0\\
0\\
0}+\vektor{0\\
0\\
0}=\vektor{0\\
0\\
0} \in[/mm] V
>
> daraus folgt, dass [mm]\vec{u}+\vec{v} \in[/mm] V
>
> zum zweiten Krit.
Sei [mm] \vec{u}\in [/mm] V. Dann ist
>
>
> [mm]f(\vec{u})=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
In Deiner nun folgenden Argumentation kommt alles vor, was man braucht, aber die Kombination ist irgendwie nicht so schlüssig.
Zeigen willst Du doch nun, daß \lambda\vec{u}\in V, daß also f(\lambda\vec{u}}=\vec{0\\0\\0}.
Das rechnest Du nun einfach vor:
f(\lambda\vec{u})=\lambda f(\vec{u})=\lambda*\vektor{0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0} ==> \lambda\vec{u}\in V.
> [mm]\lambda*f(\vec{u})= \lambda*\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] =
> [mm]f(\vec{u})=\vektor{\lambda*0\\
\lambda*0\\
\lambda*0}[/mm] =
> [mm]f(\lambda *\vec{u}) =\vektor{0\\
0\\
0} \in[/mm] V
>
> Daher sind beide Kriterien bestätigt und V ist ein
> Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm]
>
> wie mache ich das dann aber bei c), wenn ich eine Basis zu
> V bestimmen soll?
Es ist doch (mit Aufg. a)) [mm] $V:=\{\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)\}$ =\{\vec{x}\in \IR^2|\pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}\},
[/mm]
also ist V der Lösungsraum des Gleichungssystems [mm] \pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Bestimme also eine Basis des Lösungsraumes dieses homegenen LGS oder anders gesagt:
bestimme eine Basis des Kerns von [mm] \pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> dank und lg
> mark
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Mi 23.11.2011 | | Autor: | mwieland |
> Hallo,
>
> es ist hier [mm]f(\vec{x}):=\pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}*\vec{x}[/mm]
> für alle [mm]\vec{x}\in \IR.[/mm]
>
> > b) zeigen Sie, dass [mm]V=\{\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)\}[/mm]
> > ein untervektorraum von [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
> >
> > c) Bestimmen Sie eine Basis für V. Begründen Sie Ihre
> > antwort.
> > ok also mal zu b)
> >
> > die Unterraumkriterien besagen ja:
>
> V ist ein UVR eines VRes V', sofern gilt
> >
> > 1. [mm]\vec{u},\vec{v} \in[/mm] V [mm]\rightarrow \vec{u}+\vec{v}\in[/mm] V
> > 2. [mm]\vec{u}\in[/mm] V, [mm]\lambda \in\IR \rightarrow \lambda\vec{u}\in[/mm]
> V
>
> Ein sehr wichtiges Kriterium hast Du vergessen:
> 0. [mm]V\not=\emptyset.[/mm]
> Oft wird es auch so formuliert:
> 0. [mm]0_{V'}\in[/mm] V
>
> Du mußt also ein ganz konkretes Element angeben, welches
> in V liegt bzw. zeigen, daß daß Nullelement des
> (Ober)Vektorraumes drin ist.
was meinst du damit bzw. wie mache ich das?
>
>
> >
> > hab das erste Kriterium mal bewiesen, indem ich gesagt
> > habe
> >
> > [mm]f(\vec{u})=f(\vec{v})=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]
> >
> > [mm]f(\vec{u}+\vec{v})=f(\vec{u})+f(\vec{v})> = \vektor{0\\
0\\
0}+\vektor{0\\
0\\
0}=\vektor{0\\
0\\
0} \in[/mm]
> V
>
>
> >
> > daraus folgt, dass [mm]\vec{u}+\vec{v} \in[/mm] V
> >
> > zum zweiten Krit.
>
> Sei [mm]\vec{u}\in[/mm] V. Dann ist
> >
> >
> > [mm]f(\vec{u})=\vektor{0\\
0\\
0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
>
> In Deiner nun folgenden Argumentation kommt alles vor, was
> man braucht, aber die Kombination ist irgendwie nicht so
> schlüssig.
>
> Zeigen willst Du doch nun, daß \lambda\vec{u}\in V, daß
> also f(\lambda\vec{u}}=\vec{0\\0\\0}.
>
> Das rechnest Du nun einfach vor:
>
> f(\lambda\vec{u})=\lambda
> f(\vec{u})=\lambda*\vektor{0\\0\\0}=\vektor{0\\0\\0} ==>
> \lambda\vec{u}\in V.
>
>
>
> > [mm]\lambda*f(\vec{u})= \lambda*\vektor{0\\
0\\
0}[/mm] =
> > [mm]f(\vec{u})=\vektor{\lambda*0\\
\lambda*0\\
\lambda*0}[/mm] =
> > [mm]f(\lambda *\vec{u}) =\vektor{0\\
0\\
0} \in[/mm] V
> >
> > Daher sind beide Kriterien bestätigt und V ist ein
> > Unterraum von [mm]\IR^{2}[/mm]
> >
> > wie mache ich das dann aber bei c), wenn ich eine Basis zu
> > V bestimmen soll?
>
> Es ist doch (mit Aufg. a)) [mm]V:=\{\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)\}[/mm]
> [mm]=\{\vec{x}\in \IR^2|\pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}\},[/mm]
>
> also ist V der Lösungsraum des Gleichungssystems
> [mm]\pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}.[/mm]
> Bestimme also eine Basis des Lösungsraumes dieses
> homegenen LGS oder anders gesagt:
> bestimme eine Basis des Kerns von
> [mm]\pmat{-1&1\\3&-3\\4&-4}.[/mm]
>
könntest du mir das anhand eines bsp. veranschaulichen? kann dir irgendiwe nicht ganz folgen weil ich mit dem ganzen stoffgebiet nicht allzu viel anfangen kann, sry...
dank und lg markus
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> > Hallo,
> >
> > es ist hier [mm]f(\vec{x}):=\pmat{-1&1\\
3&-3\\
4&-4}*\vec{x}[/mm]
> > für alle [mm]\vec{x}\in \IR.[/mm]
> >
> > > b) zeigen Sie, dass [mm]V=\{\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)\}[/mm]
> > > ein untervektorraum von [mm]\IR^{2}[/mm] ist.
> > >
> > > c) Bestimmen Sie eine Basis für V. Begründen Sie Ihre
> > > antwort.
> > Ein sehr wichtiges Kriterium hast Du vergessen:
> > 0. [mm]V\not=\emptyset.[/mm]
> > Oft wird es auch so formuliert:
> > 0. [mm]0_{V'}\in[/mm] V
> >
> > Du mußt also ein ganz konkretes Element angeben, welches
> > in V liegt bzw. zeigen, daß daß Nullelement des
> > (Ober)Vektorraumes drin ist.
>
> was meinst du damit bzw. wie mache ich das?
Hallo,
Du mußt einen Vektor angeben, die in der Menge V liegt.
[mm] \vektor{1\\2} [/mm] ist nicht drin, denn es ist
[mm] \pmat{-1&1\\
3&-3\\
4&-4}*\vektor{1\\2}=\vektor{1\\-3\\-4}\not=\vektor{0\\0\\0}.
[/mm]
Du mußt nun halt einen suchen, für den [mm] f(\vec{x})=\vec{0} [/mm] ist.
Damit hast Du einen Beweis dafür, daß die Menge nicht leer ist.
Oder (je nachdem halt, wie die Kriterien bei Euch lauten) Du prüfst, ob der Nullvektor in V ist.
> > > wie mache ich das dann aber bei c), wenn ich eine Basis zu
> > > V bestimmen soll?
> >
> > Es ist doch (mit Aufg. a)) [mm]V:=\{\vec{x} \in\IR^{2}, f(\vec{x}) = (0,0,0)\}[/mm]
> > [mm]=\{\vec{x}\in \IR^2|\pmat{-1&1\\
3&-3\\
4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\
0\\
0}\},[/mm]
>
> >
> > also ist V der Lösungsraum des Gleichungssystems
> > [mm]\pmat{-1&1\\
3&-3\\
4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\
0\\
0}.[/mm]
> > Bestimme also eine Basis des Lösungsraumes dieses
> > homegenen LGS oder anders gesagt:
> > bestimme eine Basis des Kerns von
> > [mm]\pmat{-1&1\\
3&-3\\
4&-4}.[/mm]
> >
>
> könntest du mir das anhand eines bsp. veranschaulichen?
> kann dir irgendiwe nicht ganz folgen weil ich mit dem
> ganzen stoffgebiet nicht allzu viel anfangen kann, sry...
>
Ich hoffe, daß Du Dich inzwischen ein bißchen mehr mit den LGSen beschäftigt hast.
Kern einer Matrix A besteht all denjenigen Vektoren x, für welche A*x=0 gilt.
Zunächst mal bringt man mit Gauß die Matrix auf ZSF, hier bekommt man
[mm] $\pmat{\red{-1}&1\\ 0&0\\ 0&0}.
[/mm]
Führende Elemente von Nichtnullzeilen (rot) hat man hier nur in der 1. Spalte.
Man kann die zweite Variable frei wählen, und mit
[mm] x_2:=t
[/mm]
bekommt man aus der 1. Zeile
[mm] x_1=x_2=t.
[/mm]
Also haben die gesuchten Vektoren [mm] \vec{x} [/mm] die Gestalt
[mm] \vec{x}=\vektor{x_1\\x_2}=\vec{t\\t}=t*\vec{1\\1} [/mm] mit [mm] t\in \IR.
[/mm]
Der Vektor [mm] \vec{1\\1} [/mm] ist eine Basis des Lösungsraumes von [mm] $\pmat{-1&1\\ 3&-3\\ 4&-4}*\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}$, [/mm] also eine basis von V.
Durchdenk das alles genau!
Gruß v. Angela
> dank und lg markus
>
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